Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

USP, Cálculo 4, P3 - 2016, Questão 4

Se

n = 1 b n sen π n x 3 = x ,     x [ 0,3 [

Então o valor de b n para n N é:

a   b n = 2 - 1 n + 1 π n

b   b n = 3 - 1 n + 1 π n

c   b n = 3 - 1 n π n

d   b n = 6 - 1 n + 1 π n

e   b n = 6 - 1 n π n

Passo 1

Bom, pela série de Fourier temos a seguinte relação:

n = 1 b n sen π n x L = f ( x )

b n = 1 L - L L f ( x ) sen π n x L d x ,     n = 1,2 , 3 ,

Então vamos aplicar isso aqui, sabendo que L = 3 e que a f ( x ) está definida para x [ 0,3 [ :

b n = 1 3 - 3 3 x sen π n x 3 d x

b n = 2 3 0 3 x sen π n x 3 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aqui vamos usar a integração por partes. Lembra da fórmula? Olha só:

u d v = u v - v d u

Chamando:

u = x d u = d x

d v = sen π n x 3 d x v = - 3 π n cos n π x 3

Ficamos com:

2 3 0 3 x sen π n x 3 d x = 2 3 - 3 x π n cos n π x 3 0 3 - 0 3 - 3 π n cos n π x 3 d x

Substituindo valores:

2 3 0 3 x sen π n x 3 d x = 2 3 - 9 π n cos 3 n π 3 + 3.0 π n cos 0 + 0 3 3 π n cos n π x 3 d x

Resolvendo a integral e simplificando:

2 3 0 3 x sen π n x 3 d x = 2 3 - 9 π n cos n π + 9 π 2 n 2 sen n π x 3 0 3

Substituindo os valores restantes e usando que cos n π = - 1 n

2 3 0 3 x sen π n x 3 d x = 2 3 - 9 π n - 1 n + 9 π 2 n 2 sen n π 3 3 - 9 π 2 n 2 sen 0

2 3 0 3 x sen π n x 3 d x = 2 3 9 π n - 1 n + 1 + 9 π 2 n 2 sen n π

Sabendo que sen n π = 0 para todo n N :

2 3 0 3 x sen π n x 3 d x = 2 3 9 π n - 1 n + 1

2 3 0 3 x sen π n x 3 d x = 2 π n 3 - 1 n + 1

Finalmente:

b n = 6 - 1 n + 1 π n

Resposta

d b n = 6 - 1 n + 1 π n

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