Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

USP, Cálculo 4, P2 - 2010, Questão 2c

Dê a fórmula (sem calcular as integrais resultantes) dos coeficientes b 1 , , b n que minimizam a expressão

0 π e x 3 - k = 1 n b k sen k x 2 d x

Passo 1

b)

Galera, pensa comigo, pra minimizar aquela integral que ele quer, basta minimizar o cara ao quadrado

e x 3 - k = 1 n b k sen k x

Repara que o período da integral é de 0 a π , isso nos dá uma ideia de que queremos uma extensão da função na verdade, isso porque ela só está definida naquele intervalo que ele deu.

𝐴 gente pode pensar no seguinte, a gente usa série de Fourier para aproximar funções, certo?

E se fizemos essa função que esta subtraindo de e x 3 tender a ela mesma, opa, então esse cara vai tender a ser cada vez menor, estamos minimizando!

Então vamos calcular os coeficientes da série de Fourier da extensão de e x 3 e eles serão b k !

O primeiro detalhe é, mas qual a extensão que vamos tomar, a par ou a ímpar? Como queremos que apareça só seno ali vamos pegar a extensão ímpar daquela função.

Mas cuidado, estamos fazer isso porque o termo que tá dentro da integral está carão da série de Fourier, mas perceba que é são os termos do somatório em k .

Sempre que ele pedir para minimizar essa parada é só fazer dess jeito.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira coisa a fazer é a extensão ímpar daquela função, vamos chamar f ~ essa extensão ímpar.

Nesse caso só queremos os coeficientes da série de Fourier, então não vamos nos preocupar em achar o gráfico dessa extensão nem nada. Lembrando que quando pegamos uma extensão ímpar de f x vamos ter

a n = 0

E

b n = 2 L 0 L f x sen n x d x

A grande questão é, qual o limite dessa parada? Repara que eu falei de uma extensão ímpar daquela função que está no intervalo de 0 à π , então o nosso período vai ser 2 π , isso nos diz que

2 L = 2 π

E

L = π

Então

b n = 2 π 0 π e x 3 sen n x d x

Os nossos coeficientes em k vão ser

b k = 2 π 0 π e x 3 sen k x d x

Resposta

b k = 2 π 0 π e x 3 sen k x d x

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