Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

UFRJ, Cálculo 4, P2 - 2018.2, Questão 1c

Questão 1: Seja f : 0 ,   2 R a função

f x = sin π x 4

c) Calcule o valor da série

m = 1 1 4 m 2 - 1

Passo 1

Bem, no parte a desse exercício definimos a série de Fourier da extensão par dessa função:

f x = 2 π + m = 1 4 π - 4 m 2 π cos m π x 2

Ou seja, para x entre 0 e 2 ...

sin π x 4 = 2 π + m = 1 4 π - 4 m 2 π cos m π x 2

Então veja que podemos encontrar o valor da série fazendo um trabalho algébrico nessa equação de cima, vamos nessa?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se fizermos pegarmos alguns x de forma que cos m π x 2 = 1 , facilita a nossa vida, neh?

Se x = 0 ...

cos 0 = 1

Independente de m . Então...

sin π x 4 = 2 π + m = 1 4 π - 4 m 2 π cos m π x 2      

sin 0 = 2 π + m = 1 4 π - 4 m 2 π cos 0    

0 = 2 π + m = 1 4 π - 4 m 2 π    

Colocando o π em evidência...

m = 1 4 π 1 - 4 m 2 = - 2 π    

Passando essa constante 4 / π para fora...

4 π m = 1 1 1 - 4 m 2 = - 2 π    

m = 1 1 1 - 4 m 2 = - 2 π π 4    

m = 1 1 1 - 4 m 2 = - 1 2

Multiplicando por - 1 ...

- 1 m = 1 1 1 - 4 m 2 = 1 2  

m = 1 1 4 m 2 - 1 = 1 2

Resposta

1 2

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