Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

USP, Cálculo 4, P2 - 2012, Questão 3b

b) Seja

I = - π π x + x - A + B sen 2 x + C cos 2 x 2

Encontre A, B e C que minimize I .

Passo 1

O que isso tem a ver com o que estudamos? Sexta, no globo repórter(Ok, foi horrível)

Galera, pensa comigo, pra minimizar aquela integral que ele quer, basta minimizar o cara ao quadrado

x + x - A + B sen 2 x + C cos 2 x 2

E minimizar isso, significa trazer o cara dentro de colchetes o mais próximo de 0 .

𝐴 gente pode pensar no seguinte, a gente usa série de Fourier para aproximar funções, certo? E se fizemos essa função que esta subtraindo de x + x tender a ela mesma, opa, então esse cara vai tender a ser cada vez mais próximo de 0 , estamos minimizando!

Então vamos calcular os coeficientes da série de Fourier da extensão de x + x e eles serão A B e C !

Mas cuidado, estamos fazer isso porque o termo que tá dentro da integral está carão da série de Fourier, mas perceba que são os segundos termos da série, a 2 e b 2 (por que estamos falando de s e n ( 2 x ) e c o s ( 2 x ) ).

Assim

A = a 0 2

B = b 2

C = - a 2

Obs: O C é - a 2 por que ele tá sendo somado a nossa função!

Sempre que ele pedir para minimizar essa parada é só fazer dess jeito.

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Passo 2

Então:

a 0 = 1 π - π π f x d x = 1 π - π π x + x d x

Repara que temos

x + x = x + x = 2 x x 0 x - x = 0 x < 0

Então

a 0 = 1 π - π π x + x d x

a 0 = 1 π - π 0 0 d x + 1 π 0 π 2 x d x

a 0 = 1 π 0 π 2 x d x = 1 π 2 x 2 2 0 π = 1 π π 2 = π

Então:

A = a 0 2

A = π 2

Passo 3

Agora o coeficiente B

b 2 = 1 π - π π x + x sen 2 x d x = 1 π 0 π 2 x sen ( 2 x ) d x = 2 π 0 π x sen ( 2 x ) d x

Fazendo uma integração por partes:

u = x d u = d x d v = sen ( 2 x ) d x v = - cos 2 x 2

Asssim fica:

b 2 = 2 π - x cos 2 x 2 0 π + 0 π cos 2 x 2 d x

b 2 = 2 π . - π 2 = - 1

B = b 2

B = - 1

Passo 4

E por fim:

C = a 2 = 1 π - π π x + x  cos 2 x d x

a 2 = 1 π - π 0 0 cos 2 x d x + 1 π 0 π 2 x cos 2 x d x

a 2 = 2 π 0 π x cos ( 2 x ) d x

Integrando por partes:

u = x d u = d x d v = cos ( 2 x ) d x v = sen 2 x 2

Logo:

a 2 = x sen 2 x 2 0 π - 0 π sen 2 x 2 d x = - cos 2 x 4 0 π

a 2 = - 1 - 1 2 = 0

C = 0

Ok, fechou o balão!

Resposta

A = π 2

B = - 1

C = 0

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