Exercícios Resolvidos de Obtenção da Série de Fourier

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral III, Banco de Questões - Estácio - AV2, Questão Q23

Seja a função

  f x = x       ,   x   ε   [ - π , π ]

Na série de Fourier chega-se a a n = 1 π - π π x cos n x d x

Podemos afirmar que o valor de a n é:

( ) 2 n sen ( n π )

( ) n π

( ) n π

( )   0

( ) n   sen ( n π )

Passo 1

Fala aí! A questão quer que a gente calcule o valor de a n a partir da seguinte expressão:

a n = 1 π - π π x cos n x d x

Bom, nesse caso, vamos precisar fazer a integração por partes. Vamos chamar então:

x = u d x = d u

cos ( n x ) = d v v = 1 n sen ( n x )

- π π x cos ( n x ) d x = - π π 1 n x sen ( n x ) d x - - π π 1 n sen ( n x ) d x

Só que a integral - π π 1 n x sen ( n x ) d x também tem que ser feita por partes. Então, seguindo o mesmo procedimento, a gente chega a:

- π π x sen ( n x ) d x = - π π - 1 n x c o s ( n x ) d x + - π π 1 n cos ( n x ) d x

Substituindo esse resultado na primeira integral, a gente chega que:

- π π x cos n x d x = x n sen n x + 1 n 2 cos n x - π π

Agora, a gente pode substituir os liites de integração:

- π π x cos n x d x = π n sen n π + 1 n 2 cos n π - - π n sen - π n - 1 n 2 cos - π n

Bom, sen ( n π ) e s e n ( - n π ) são nulos (valem zero), então nossa expressão vai ficar:

- π π x cos n x d x = 1 n 2 cos n π - 1 n 2 cos - π n

Das propriedades trigonométricas, a gente também sabe que:

cos ( n π ) = cos ( - n π )

Com isso, a gente chega que:

- π π x cos n x d x = 0

Então, o nosso a n que a gente quer é:

a n = 1 π - π π x cos n x d x = 0

a n = 0

Siiim, eu entendo a decepção depois de tanta conta descobrir que vai dar zero! Mas é isso aí mesmo, galera. O mais importante é que temos essa opção na resposta.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

a n = 0

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