Passo 1

a Derivamos f x :

f ' x = x - 1 - x 3 '

= - x - 2 - 3 x 2 = - 1 x 2 - 3 x 2

= - 1 + 3 x 4 x 2

Repara que 1 + 3 x 4 e x 2 são sempre positivos, o que gera que, com aquele sinal de menos, essa derivada seja sempre negativa.

Com isso, a gente nota que a função é estritamente decrescente no seu domínio de x > 0 e nunca haverá dois valores de x gerando o mesmo valor de y , o que faz com que essa função seja injetiva e, portanto, inversível pelo Teorema da Função Inversa.

Passo 2

b Procurando por f - 1 0 :

Primeiro aqui, vamos ter que nos atentar a um detalhe, quem é o 0 dentro dessa função inversa?

Veja que se f x = y então na função inversa... f - 1 y = x . Ou seja, é a inversa! Por comparação então...

f - 1 0

Concluímos que quem é 0 é o y ! ☺

y = 0

Vamos buscar então o x para esse y = 0 ...

y = f x = 1 x - x 3           →           1 x - x 3 = 0

1 - x 4 x = 0       →

1 - x 4 = 0       →

x 4 = 1   →

x = 1     o u       x = - 1

Como o domínio comporta x > 0 , temos

x = 1

Como vimos, já que na inversa vale f - 1 y = x , logo...

f - 1 0 = 1

Passo 3

b Procurando por f - 1 ' 0 :

Para a derivada dessa inversa, usamos:

f - 1 ' y = 1 f ' x

f - 1 ' 0 será dado pelo inverso da derivada aplicada a x = 1 :

f - 1 ' 0 = 1 f ' 1 = 1 - 1 + 3 1 4 1 2 = - 1 1 + 3

f - 1 ' 0 = - 1 4

Passo 4

c Queremos a reta tangente ao ponto 0 , f - 1 0 , ou seja, a reta paralela a um ponto y , f - 1 y .

Temos esse coeficiente angular valendo - 1 4 , como acabamos de achar na letra b . Além disso, f - 1 0 = 1 .

Dessa forma, queremos a reta y = a x + b com a = - 1 4 e que passa no ponto 0,1 .

1 = - 1 4 0 + b → b = 1

A reta será:

y = - x 4 + 1

x + 4 y = 4

Resposta

  1. Como f ' x = - 1 + 3 x 4 x 2 < 0 em 0 ,   ∞ , f satisfaz as hipóteses do TFI (Teorema da função inversa). Logo f é invertível em 0 ,   ∞ ;
  2. f - 1 0 = 1 e f - 1 ' 0 = - 1 / 4 .
  3. x + 4 y = 4

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