Questão 4. Seja S a superfície dada pela parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 , calota esférica, que está acima do plano z = 2 . Considere a função f x , y , z = y 2 definida em uma região de R 3 que contém S .

(b) Calcule dois vetores tangentes e um vetor normal a S em um ponto genérico;

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos obter dois vetores tangentes e um vetor normal a S em quaisquer três pontos arbitrários.

E aí, parece difícil? 🤔

Nesse caso, como S é uma calota esférica, os vetores normais a S apontarão na direção radial da esfera formada pela calota.

Assim, para obter um vetor normal a S , precisamos descobrir em qual ângulo ϕ e θ esse ponto está das referências e substituir na equação paramétrica de S

S ρ , ϕ , θ = 4 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 4 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , 4 cos ⁡ ϕ

Para obter um vetor tangente, podemos usar um outro vetor qualquer que não aponta para a mesma direção do vetor normal e usar a relação

V → t g = V → R × V → n r m

Ou seja, o vetor tangente é igual ao produto vetorial entre um vetor qualquer diferente do vetor normal e o vetor normal.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

O que podemos fazer é obter os três vetores normais e escolher um deles para aplicar a equação do passo 1.

Dessa forma, as próprias coordenadas dos pontos podem ser convertidas para vetores normais, por exemplo

Dado um ponto que pertence a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 16 para z > 2

P n = x 0 , y 0 , z 0

Fazendo P n - 0,0 , 0 o resultado é um vetor normal a S .

Por exemplo, se z = 3 e x = 2 , vamos obter

2 2 + y 2 + 3 2 = 16

4 + y 2 + 9 = 16

y 2 = 16 - 13 = 3

y = 3

Então nosso primeiro vetor normal é dado por

V → N 1 = P 1 - 0,0 , 0 = 2 , 3 , 3 - 0,0 , 0

V → N 1 = 2 , 3 , 3

Agora se z = 4 , temos que ter

x 2 + y 2 + 4 2 = 16

x 2 + y 2 + 16 = 16

x 2 + y 2 = 0

x = 0 e y = 0 , portanto P 2 = 0,0 , 4

Obtendo o vetor normal a esse ponto, temos

V → N 2 = 0,0 , 4 - 0,0 , 0

V → N 2 = 0,0 , 4

Entendeu como a gente faz? 👀

Passo 3

E para um ponto onde x = 1 , y = 2 ...

1 2 + 2 2 + z 2 = 16

5 + z 2 = 16

z 2 = 16 - 5 = 11

z = 11

Logo, o terceiro ponto é P 3 = 1,2 , 11

Assim o vetor normal a esse ponto é

V → N 3 = 1,2 , 11 - 0,0 , 0

V → N 3 = 1,2 , 11

Para esse terceiro ponto, vamos obter o vetor tangente, sendo que um vetor tangente e um vetor normal são ortogonais, ou seja

V → t g = V → R × V → n r m

Vamos usar um vetor unitário qualquer por exemplo 0,0 , 1 , assim, temos

V → t g = 0,0 , 1 × 1,2 , 11

Calculando o produto vetorial entre esses dois vetores, vamos obter

0,0 , 1 × 1,2 , 11 = i j k 0 0 1 1 2 11 = 0 - 2 i + 1 - 0 j + 0 - 0 k

0,0 , 1 × 1,2 , 11 = - 2,1 , 0

Assim, um vetor tangente a S no ponto P 3 é dado por

V → t g = - 2,1 , 0

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Para o ponto P 1 = 2 , 3 , 3 → V → N 1 = 2 , 3 , 3

Para o ponto P 2 = 0,0 , 4 → V → N 2 = 0,0 , 4

Para o ponto P 3 = 1,2 , 11 → V → t g = - 2,1 , 0

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