3 – Determine a equação da reta tangente à seguinte curva espacial em t 0 = π 2 :

r → t = cos ⁡ t i → + s e n t j → + s e n 2 t k →

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão estamos interessados em obter a reta tangente à curva parametrizada por r → t = cos ⁡ t i → + s e n t j → + s e n 2 t k → no ponto t 0 = π 2 .

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 👀

Primeiro vamos lembrar o que é uma reta. Uma reta é dada por um ponto que a pertence e o seu coeficiente angular.

Traduzindo tudo isso, temos que obter o ponto r → π 2 e o vetor derivada de r → t em t 0 , ou seja

τ → t = r → π 2 + t r → ' π 2

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Primeiro vamos obter o ponto r → π 2 ...

r → π 2 = cos ⁡ π 2 i → + s e n π 2 j → + s e n 2 π 2 k →

r → π 2 = 0 i → + 1 j → + 0 k →

r → π 2 = 0,1 , 0

Agora calculamos a derivada do vetor r → t

r → ' t = d cos ⁡ t d t , d s e n t d t , d s e n 2 t d t

r → ' t = - s e n t , cos ⁡ t , 2 cos ⁡ 2 t

Aplicando o ponto t 0 , temos

r → ' π 2 = - s e n π 2 , cos ⁡ π 2 , 2 cos ⁡ 2 π 2

r → ' π 2 = - 1,0 , - 2

Substituindo os resultados em τ → ...

τ → t = 0,1 , 0 + t - 1,0 , - 2

τ → t = 0,1 , 0 + - t , 0 , - 2 t

τ → t = - t , 1 , - 2 t

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

τ → t = - t , 1 , - 2 t

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