Considere a curva γ t = ( 2 t 2 - 3 t ,   t - t 2 ,   t + 2 )

  1. Mostre que o traço γ t está contida no plano x + 2 y + z = 2 .
  2. Calcule γ ' t .
  3. Determine a equação da reta tangente à trajetória de γ t no ponto - 1,0 , 3 .

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Seguinte... na letra (a) vamos fazer γ t = x t ,   y t ,   z t .

Agora, vamos verificar se as coordenadas x t ,   y t   e   z t satisfazem o plano dado:

x + 2 y + z = 2 ∴

2 t 2 - 3 t + 2 t - t 2 + t + 2 = 2 ∴

2 t 2 - 3 t + 2 t - 2 t 2 + t + 2 = 2

Assim, como as coordenadas de γ t satisfazem a equação do plano para todo t   ∈ R , o resultado segue.

Passo 2

Na letra (b), para fazermos a derivada γ ' t , devemos derivar cada uma das coordenadas:

γ ' t = d d t x t , d d t y t , d d t z t ∴

γ ' t = d d t 2 t 2 - 3 t , d d t t - t 2 , d d t t + 2 ∴

γ ' t = 4 t - 3 ,   1 - 2 t , 1

Passo 3

Na letra (c) primeiro devemos descobrir qual valor de t o qual a curva passa pelo ponto ( - 1,0 , 3 ) , isto é, t deve satisfazer γ t = ( - 1,0 , 3 ) . Assim, temos o seguinte sistema de equações:

2 t 2 - 3 t = - - 1 t - t 2 = 0 t + 2 = 3

Resolvendo o sistema, descobrimos t = 1 como o púnico valor possível.

Assim, a reta tangente é dada por:

r s = γ 1 + s γ ' 1 ∴

r s = - 1,0 , 3 + s 4 ∙ 1 - 3 ,   1 - 2 ∙ 1 ,   1 ∴

r s = - 1,0 , 3 + s 1 , - 1 , 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

  1. 2 t 2 - 3 t + 2 t - 2 t 2 + t + 2 = 2
  2. γ ' t = 4 t - 3 ,   1 - 2 t , 1
  3. r s = - 1,0 , 3 + s 1 , - 1,1

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