1.3. Encontre uma parametrização para a curva de nível k de f nos casos:

a. f x , y = x - 1 - 2 y 2 , k = 5

Determine a reta tangente às curvas acima nos pontos 1 2 , 1 4 , 6,0 e 2 , 1 , respectivamente.

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nessa questão queremos duas coisas... a primeira é parametrizar a curva de nível da função f x , y em k = 5 e a segunda coisa é obter a reta tangente no ponto 6,0 .

E aí, como podemos fazer isso? 👀

Para determinar a curva paramétrica de f em k = 5 , temos que fazer f x , y = k e substituir k por 5 , assim, isolando uma das variáveis ou encontrando alguma característica da equação podemos fazer uma mudança de variáveis para reescrever a curva como uma única variável.

Já para obter a reta tangente a f no ponto dado, temos que obter a variável do vetor paramétrico e fazer r λ = γ ' t 0 λ + P 0

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Primeiro vamos fazer f x , y = k

f x , y = x - 1 - 2 y 2 = k

x - k = 1 - 2 y 2

Elevando os dois lados ao quadrado...

x - k 2 = 1 - 2 y 2 2 → x - k 2 = 1 - 2 y 2

x - k 2 + 2 y 2 = 1

Assim, com k = 5

x - 5 2 + 2 y 2 = 1

Ou seja, essa curva de nível se trata de uma elipse centrada em 5,0

Para parametrizar essa reta, podemos fazer x = cos ⁡ t + 5 e, portanto, y = 1 2 s e n t para satisfazer a igualdade

cos ⁡ t + 5   - 5 2 + 2 1 2 s e n t 2 = 1

cos 2 ⁡ t + 2 1 2 s e n 2 t = 1

cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Assim, o vetor paramétrico dessa curva é dado por

γ t = cos ⁡ t + 5   , 1 2 s e n t

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora para obter a reta tangente a f no ponto 6,0

Temos que aplicar a equação

r λ = γ ' t 0 λ + P 0

Onde P 0 é o ponto onde γ t 0 = 6,0 .

Obtendo t 0 , temos

γ t 0 = cos ⁡ t 0 + 5   , 1 2 s e n t 0 = 6,0

cos ⁡ t 0 + 5 = 6

cos ⁡ t 0 = 1

t 0 = 0

Portanto P 0 = 6,0

Derivando γ t , temos

γ ' t = - sen ⁡ t   , 1 2 cos ⁡ t

Fazendo t = t 0 = 0

γ ' 0 = - sen ⁡ 0   , 1 2 cos ⁡ 0

γ ' 0 = 0   , 1 2

Substituindo em r λ

r λ = 0   , 1 2 λ + 6,0

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

γ t = cos ⁡ t + 5   , 1 2 s e n t

r λ = 0   , 1 2 λ + 6,0

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