1.3. Encontre uma parametrização para a curva de nível k de f nos casos:

a. f x , y = x + 2 y - 3 , k = - 2

Determine a reta tangente às curvas acima nos pontos 1 2 , 1 4 , 6,0 e 2 , 1 , respectivamente.

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão queremos duas coisas... a primeira é parametrizar a curva de nível da função f x , y em k = - 2 e a segunda coisa é obter a reta tangente no ponto 1 2 , 1 4 .

E aí, como podemos fazer isso? 👀

Para determinar a curva paramétrica de f em k = - 2 , temos que fazer f x , y = k e substituir k por - 2 , assim, isolando uma das variáveis ou encontrando alguma característica da equação podemos fazer uma mudança de variáveis para reescrever a curva como uma única variável.

Já para obter a reta tangente a f no ponto dado, temos que obter a variável do vetor paramétrico e fazer r λ = γ ' t 0 λ + P 0

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Primeiro vamos fazer f x , y = k

f x , y = x + 2 y - 3 = k

Isolando y , temos

2 y = 3 + k - x

y = 3 + k - x 2

Assim, com k = - 2

y = 3 + - 2 - x 2 = 1 - x 2

Para parametrizar essa reta, podemos fazer x = t e, portanto, o vetor paramétrico dessa curva é dado por

γ t = t , 1 2 1 - t

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora para obter a reta tangente a f no ponto 1 2 , 1 4

Temos que aplicar a equação

r λ = γ ' t 0 λ + P 0

Onde P 0 é o ponto onde γ t 0 = 1 2 , 1 4 .

Obtendo t 0 , temos

γ t 0 = t 0 , 1 2 1 - t 0 = 1 2 , 1 4

t 0 , 1 2 1 - t 0 = 1 2 , 1 4 → t 0 = 1 2

Ou seja, P 0 = 1 2 , 1 4 .

Agora vamos obter γ ' t 0

γ ' t = 1 , - 1 2

Substituindo na equação da reta tangente...

r λ = 1 , - 1 2 λ + 1 2 , 1 4

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

γ t = t , 1 2 1 - t

r λ = 1 , - 1 2 λ + 1 2 , 1 4

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