Considere a função f x = x x - 1 .

  1. Obtenha a equação da reta r tangente ao gráfico de f ( x ) no ponto de abscissa x = 3 .
  2. Existe uma outra reta s tangente ao gráfico de f ( x ) e que é paralela à reta r do item anterior. Determine o ponto de tangência desta reta s com o gráfico de f ( x ) ..

Passo 1

Temos que determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f ( x ) no ponto 3 , f 3 . Isto é, no ponto x = 3 . Portanto, vamos começar determinando quem é f 3 . Sendo assim,

f 3 = 3 3 - 1 = 3 2

Portanto, precisamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico no ponto 3   ,   3 / 2 . Esta reta possui equação da forma:

y - y 0 = y ' ⋅ x - x 0

Substituindo os valores das coordenadas do nosso ponto de tangência em x 0 e y 0 , temos:

y - 3 2 = y ' ⋅ x - 3

Em que o coeficiente y ' é dado por f ' 3 . Portanto, precisamos inicialmente derivar f ( x ) . Com isto, obtemos:

f ' x = x ' ⋅ x - 1 - x ⋅ x - 1 ' x - 1 2 = 1 ⋅ x - 1 - x ⋅ 1 x - 1 2 = - 1 x - 1 2

Portanto, f ' ( 3 ) é dado por:

f ' 3 = - 1 3 - 1 2 = - 1 4

Agora, só nos basta substituir este valor na equação da reta tangente e reorganiza-la. Logo,

y - 3 2 = - 1 4 ⋅ x - 3

y = - x 4 + 9 4

E assim finalizamos a letra a).

Passo 2

Precisamos determinar o outro ponto tangente a nossa f x cuja reta tangente é paralela a reta obtida na letra a) da questão.

Se duas retas são tangentes, a inclinação das retas é igual. Isto significa dizer que ambas possuem o mesmo valor de f ' x .

Portanto, queremos descobrir as coordenadas de um ponto x 1 , y 1 tais que f ' x 1 = - 1 / 4 , o que implica na reta ser paralela a reta da letra a)!

Logo,

f ' x 1 = - 1 x 1 - 1 2 = - 1 4

x 1 - 1 2 = 4

x 1 - 1 = ± 2

Logo, x 1 = 3 ou x 1 = - 1 . Como x 1 = 3 é o ponto que utilizamos na letra a), então, o ponto que estamos buscando possui abscissa x 1 = - 1 ! Só nos resta então descobrirmos qual a coordenada da sua ordenada! Sendo assim, temos:

f - 1 = - 1 - 1 - 1 = 1 2

Logo, o ponto que buscamos é o ponto ( - 1   ,   1 / 2 ) !

Resposta

  1. y = - x 4 + 9 4

- 1   , 1 2

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Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x - 1 x - 2,( 3,2 )
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