Considere a função f : 0 , ∞ → R definida por:

f x = ln ⁡ a x 2 ,       x ≥ 1 6 ln ⁡ 2 π cos ⁡ π 2 x 1 - x 3 ,       0 < x < 1

  1. Encontre o valor de a para que a função seja contínua.
  2. Encontre a reta tangente a f no ponto e , ln ⁡ a ⋅ e 2 .

Passo 1

Vamos começar com a letra a , Primeiro, analisamos a continuidade como um todo. Veja que para valores de x > 1 , temos um log sempre positivo e que será, portanto, contínuo no seu domínio.

Para valores entre 0 < x < 1 , temos uma fração que nunca zera o denominador e tem numerador contínuo, o cosseno.

Dessa maneira, resta discutir a continuidade somente no ponto onde a função troca de expressão, o ponto x = 1 .

Passo 2

Para que a função seja contínua nesse ponto, precisamos que:

lim x → 1 ⁡ f x = f 1

Como a função muda de expressão à esquerda e à direita do ponto, usamos os limites laterais. Então vamos calculá-los.

O limite lateral pela esquerda se refere a valores menores que x = 1 , então usamos a expressão de baixo:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ 6 ln ⁡ 2 π cos ⁡ π 2 x 1 - x 3 = 6 ln ⁡ 2 π ⋅ lim x → 1 - ⁡ cos ⁡ π 2 x 1 - x 3

Substituindo o ponto desse limite, temos: lim x → 1 - ⁡ cos ⁡ π 2 x 1 - x 3 = 0 0

Que é uma indeterminação de L’Hôpital, então vamos aplicá-lo:

lim x → 1 - ⁡ cos ⁡ π 2 x 1 - x 3 ⟹ L H = lim x → 1 - ⁡ cos ⁡ π 2 x ' 1 - x 3 ' = lim x → 1 - ⁡ - π 2 sen ⁡ π 2 x - 3 x 2

Substituindo no ponto novamente:

lim x → 1 - ⁡ - π 2 sen ⁡ π 2 x - 3 x 2 = π 6

Ficando então, lembrando que temos uma constante no limite:

lim x → 1 - ⁡ 6 ln ⁡ 2 π cos ⁡ π 2 x 1 - x 3 = ln ⁡ 2

Passo 3

O limite lateral pela direita se refere a valores maiores que x = 1 , ou seja, usamos a primeira expressão:

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ a x 2 = ln ⁡ a

Também, substituindo no ponto:

f 1 = ln ⁡ a

Como vimos, para que seja contínua:

lim x → 1 ⁡ f x = f 1 = ln ⁡ a

Como o limite acima depende dos limites laterais, para que exista:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x = ln ⁡ a

ln ⁡ 2 = ln ⁡ a = ln ⁡ a

Para que a igualdade seja satisfeita, precisamos que:

a = 2

Passo 4

Vamos para a letra b agora.

A equação geral da reta tangente num ponto x o , y o é:

y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

Assim, no ponto do problema, teremos:

y - ln ⁡ a ⋅ e 2 = f ' e x - e

Precisamos calcular então f ' e .

Passo 5

Para esse cálculo, vamos derivar a função. Como e > 1 , usamos a primeira expressão:

f x = ln ⁡ a x 2

Como temos uma função composta, usamos a regra da cadeia para derivar, para tal consideramos u = a x 2 que é o que está dentro do log, ficando:

ln ⁡ a x 2 ' = d ln ⁡ u d u ⋅ d u d x

Sendo:

d ln ⁡ u d u = ln ⁡ u ' = 1 u = 1 a x 2

E:

d u d x = a x 2 ' = 2 a x

Substituindo, temos:

f ' x = ln ⁡ a x 2 ' = 2 a x ⋅ 1 a x 2 = 2 x

No ponto x = e :

f ' x = 2 e

Passo 6

Substituindo na equação geral, temos:

y - ln ⁡ a ⋅ e 2 = f ' e x - e ⟹ y = 2 e x - e + ln ⁡ a ⋅ e 2

y = 2 e x - 2 + ln ⁡ a + ln ⁡ e 2

Como ln ⁡ e 2 = 2 ln ⁡ e = 2 , então:

y = 2 e x + ln ⁡ a

Como vimos, temos a = 2 , ficando:

y = 2 e x + ln ⁡ 2

Resposta

  1. a = 2
  2. y = 2 e x + ln ⁡ 2

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