Considere a função f x = x 4 +   5 x ² + 2 x . Seja y = a x + b a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto onde x = 1 . Logo a - b é igual a:

  1. 26
  2. 21
  3. 24
  4. 22

Passo 1

Escolher a equação da reta tangente

Antes de mais nada, vamos pensar aqui: como responder a - b sem saber a cara de y = a x + b ? A verdade é que não dá. Vamos então ter que obter a expressão de:

y - y o = a x - x o

Ué, mas porque essa expressão aí? Bem, a gente vai usar ela porque essa expressão a gente usa quando sabemos ou temos como saber o ponto de tangência! E é o caso! Perfeito então, o ponto de tangência vai ser:

x o , y o = x o , f x o

E sabendo a cara de y - y o = a x - x o basta a gente reescrever pra obter na forma y = a x + b . Mas pra você não achar que estamos esquecendo de nada, vamos lembrar que a inclinação da reta tangente, dada por a , nada mais é do que a derivada de f x no ponto de tangência! Show de bola, então teremos:

a = f ' x o

Partiu contas

Passo 2

Achar a inclinação da reta tangente

Vamos começar a derivar essa função ai então pra achar a inclinação da reta tangente:

f x = x 4 +   5 x 2 + 2 x

f ' x = x 4 +   5 x ² + 2 x '

f ' x = 4 x ³ + 10 x + 2

E como, segundo o enunciado, x o = 1 , vamos ter:

a = f ' x o = 4 x o ³ + 10 x o + 2

a = f ' 1 = 4 . 1 ³ + 10 . 1 + 2

a = f ' 1 = 16

Mamão com açúcar! Falta agora só calcular y o = f x o e tacar na equação da reta!

Passo 3

Achar y o

A gente não sabe bem ainda o ponto de tangência, mas sabe que ele é dado por:

x o , y o = x o , f x o

E que se x o = 1 ele é o mesmo que:

1 , f 1

Oras, só calcular f 1 então. Vamo que vamo:

f x o = x o 4 +   5 x o ² + 2 x o

f 1 = 1 4 +   5 . 1 ² + 2 . 1

y o = f 1 = 8

Passo 4

Montar e reescrever a equaçãoda reta e calcular a - b

Eu sei que você tava gostando dessa questão, mas infelizente tamos acabando ela! Agora se juntarmos tudo que achamos vamos ter:

y - y o = a x - x o

y - 8 = 16 x - 1

y - 8 = 16 x - 16

y = 16 x - 8

E como y = a x - b , vamos ter então:

a = 16 b = - 8

E pronto! Só fazer as contas agora:

a - b = 16 - - 8 = 24

Resposta

L e t r a   C

a - b = 24

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