Dentre todas as retas tangentes ao gráfico de f x = x 2 + 1 x - 1 , qual é a única que passa pelo ponto 1,0 ?

Passo 1

Vamos lá, primeira coisa: o ponto 1,0 não é parte do domínio de f x . Dado isso, a gente tem que procurar as retas tangentes ao gráfico que, fora do ponto de tangência, passam nesse ponto.

Vamos chamar esse ponto qualquer onde há essa reta tangente que depois passa em 1,0 de x = c , com f c . Assim, a gente tem que descrever a reta em função de c , para resolver a situação.

O que nós vamos ter é uma reta que passa em c , f c , cujo coeficiente angular vale f ' c . Modelando a reta por y = a x + b , teremos:

a c + b = f c a = f ' c

Agora basta determinar a derivada desse cara e resolver o sistema para c .

Passo 2

Derivando:

f ' x = x 2 + 1 x - 1 ' = x 2 + 1 ' x - 1 - x 2 + 1 x - 1 ' x - 1 2

= 2 x x - 1 - x 2 + 1 1 x - 1 2

= 2 x 2 - 2 x - x 2 - 1 x - 1 2

= x 2 - 2 x - 1 x - 1 2

Em x = c :

f ' c = c 2 - 2 c - 1 c - 1 2

Esse será o valor de a

a = c 2 - 2 c - 1 c - 1 2

Passo 3

Substituindo em c , f c :

a c + b = f c

c 2 - 2 c - 1 c - 1 2 c + b = c 2 + 1 c - 1

b = c 2 + 1 c - 1 - c 3 - 2 c 2 - c c - 1 2

b = ( c 2 + 1 ) ( c - 1 ) c - 1 2 - c 3 - 2 c 2 - c c - 1 2

b = c 3 - c 2 + c - 1 - c 3 - 2 c 2 - c c - 1 2

b = c 2 + 2 c - 1 c - 1 2

Assim, escrevendo a reta em função de c teremos:

y = a x + b

y = c 2 - 2 c - 1 c - 1 2 x + c 2 + 2 c - 1 c - 1 2

Passo 4

Enfim, vamos substituir essa reta em 1,0 e achar o valor de c !

0 = c 2 - 2 c - 1 c - 1 2 1 + c 2 + 2 c - 1 c - 1 2

c 2 - 2 c - 1 c - 1 2 + c 2 + 2 c - 1 c - 1 2 = 0

c 2 - 2 c - 1 + c 2 + 2 c - 1 c - 1 2 = 0

2 c 2 - 2 c - 1 2 = 0

2 c 2 = 2 → c = ± 1

Repara comigo, se c = 1 , a função não está definida (o denominador iria para 0 e a função e sua derivada para ± ∞ ). Porém, se c = - 1 , tudo ok.

Assim, a reta será dada por:

y = - 1 2 - 2 - 1 - 1 - 1 - 1 2 x + - 1 2 + 2 - 1 - 1 - 1 - 1 2

y = 1 + 2 - 1 - 2 2 x + 1 - 2 - 1 - 2 2

y = 2 4 x + - 2 4

2 y = x - 1 → x = 1 + 2 y

É isso!

Resposta

x = 1 + 2 y

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