3 ) Determine a ,   b ,   c ,   d   ∈   R de modo que as retas tangentes ao gráfico de

f x = a x 3 + b x 2 + c x + d

Sejam y = 14 x - 13 no ponto ( 1,1 ) e y = - 2 x - 5 no ponto ( - 1 , - 3 ) .

Passo 1

Quando o gráfico é tangente a uma reta em determinado ponto quer dizer que sua derivada é igual ao coeficiente angular da reta nesse ponto. Além disso, sabemos que os pontos seriam coincidentes, ou seja, tanto a reta quanto a função devem satisfazer ao par de coordenadas x , f x onde ocorre a tangência. Isso nos leva ao seguinte:

f ' 1 = 14 ; f ' - 1 = - 2

f 1 = 1 ; f - 1 = - 3

Bom, temos que f x = a x 3 + b x 2 + c x + d e, portanto, sua derivada será:

f ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c

Vamos juntar tudo agora:

a 1 3 + b 1 2 + c ( 1 ) + d = 1

a - 1 3 + b - 1 2 + c ( - 1 ) + d = - 3

3 a 1 + 2 b 1 + c = 14

3 a - 1 2 + 2 b - 1 + c = - 2

Vou colocar m sistema para resolvermos e matarmos a equação.

a + b + c + d = 1 - a + b - c + d = - 3 3 a + 2 b + c = 14 3 a - 2 b + c = - 2

Agora é só resolver esse bagulho! Com as duas últimas equações descobrimos que b = 4 . Com as duas primeiras equações e o valor de b , descobriremos que d = - 5 . Assim, teremos a = 2 e c = 0 . Enfim, a equação de f ( x ) será:

f x = 2 x 3 + 4 x 2 - 5

Resposta

a = 2 ; b = 4 ; c = 0 ; d = - 5

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