Enunciado

Escreva a equação da reta tangente à curva y = x 3 - 5 x 2 - 2 x + 4 no ponto de abcissa x = 3 .

Passo 1

A equação de uma reta é:

y - y 0 = m x - x 0

Aonde esse m   é o nosso coeficiente angular da reta e ele será justamente a derivada da curva naquele ponto, ou seja:

f ' ( x 0 )

Além disso, sabemos que y é uma função de x , y = f ( x ) . Sendo assim y 0 = f ( x 0 ) . Então a equação geral da reta tangente é:

y - f ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) x - x 0

Só que queremos determinar a reta tangente no ponto x = 3 , então:

x 0 = 3

Queremos então:

y - f ( 3 ) = f ' ( 3 ) x - 3

Passo 2

Vamos descobrir f 3 ,   para isso basta substituir x = 3 na equação f ( x ) = x 3 - 5 x 2 - 2 x + 4

f 3 = 3 3 - 5 3 2 - 2 ⋅ 3 + 4 ⟹

f 3 = - 20

Certo, já dá para substituir alguma coisa:

y - f 3 = f ' 3 x - 3 ⟹

y + 20 = f ' 3 x - 3

Passo 3

Falta agora determinar f ' x 0 . Para tal, derivamos nossa função f ( x ) = x 3 - 5 x 2 - 2 x + 4 :

f ' x = (   x 3   ) ' - (   5 x 2   ) ' - (   2 x   ) ' + ( 4 ) '

f ' x = 3 x 2 - 10 x - 2

Assim no ponto x = x 0 = 3 :

f ' 3 = 3 ( 3 ) 2 - 10 ( 3 ) - 2 = - 5

f ' 3 = - 5

Pronto! Já temos nossa reta:

y + 20 = f ' 3 x - 3 ⟹

y + 20 = - 5 x - 3 ⟹

y + 20 = - 5 x + 15 ⟹

y = - 5 x - 5

Entao:

y = - 5 x + 1

Olhe só que coisa linda:

Resposta

y = - 5 x + 1

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