Q01III) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f x = tan ⁡ x 2 quando x = π .

Passo 1

Antes de mais nada, como a questão quer a equação da reta tangente, vamos escrever ela aqui e depois modelar:

y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

Onde x 0 , y 0 é o ponto de tangência. Como já sabemos a coordenada x do ponto, pra achar o y basta fazer:

y 0 = f x 0

E logo:

y 0 = f π = tan ⁡ π 2 = tan ⁡ π = 0

Sendo assim, modelamos a equação da reta tangente para:

y - 0 = f ' π x - π

y = f ' π x - π

Falta agora só achar o coeficiente angular f ' π

Passo 2

Pra achar o coeficiente angular primeiro a gente vai ter que derivar f x . Sendo essa função uma função dentro da outra, não tem jeito: é regra da cadeia! Partiu então:

f x = tan ⁡ x 2

f ' x = sec 2 ⁡ x 2 ∙ x 2 '

f ' x = 2   x sec 2 ⁡ x 2

Fazendo agora f ' π , ficamos com:

f ' π = 2   π sec 2 ⁡ π 2

f ' π = 2   π sec 2 ⁡ π

f ' π = 2   π

Belê, fechamos a equação da reta tangente. Ela vai ser:

y = f ' π x - π

y = 2   π x - π

y = 2 π   x - 2 π

Resposta

y = 2 π   x - 2 π

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