Sejam f x = x 3 + a x 2 + b x + c , em que a ,   b ,   c   ∈ R , e g x = 5 - 3 sen ⁡ x . Determine a ,   b e c sabendo que f e g possuem a mesma reta tangente no ponto de abscissa 0 e que o ponto ( 0 , - 3 ) pertence à reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 2 .

Passo 1

Vamos lá, o que temos de informação:

f x x 3 + a x 2 + b x + c   ; g x = 5 - 3 sen ⁡ ( x )

R e t a   t a n g e n t e   e m   f 0 = R e t a   t a n g e n t e   e m   g ( 0 )

0 , - 3 ∈ R e t a   t a n g e n t e   e m   f ( 2 )

Vamos primeiro achar as derivadas e as retas em forma de equação:

y = m x + n → y = F ' x x + n

Segundo a igualdade das retas tangentes em x = 0 , tenho isso

y = f ' 0 x + n 0 = g ' 0 x + n 0

f ' 0 = g ' ( 0 )

f ' x = 3 x 2 + a x + b   ; g ' x = - 3 cos ⁡ ( x )

( 3 0 2 + 2 a ( 0 ) + b ) = - 3 cos ⁡ ( 0 )

b = - 3

Nessa questão de uma mesma reta para as duas funções no ponto x = 0 tem um detalhe importante também: as retas devem necessariamente passar pelo mesmo ponto para gerar isso.

f 0 = g ( 0 )

c = 5 - 3 sen ⁡ 0

c = 5

Agora, olhando a tangente a f ( x ) em x = 2 , acharemos isso:

y = f ' 2 x + n 2 = 3 2 2 + 2 a 2 + b x + n 2 = 12 + 4 a - 3 x + n 2

y = 9 + 4 a x + n 2

Pelo que ele disse, essa reta passa em dois pontos, no próprio ponto de derivação, ou seja, 2 , f 2 e ( 0 , - 3 ) . Vamos jogar esses pontos:

( 0 , - 3 )

2 , f 2 = 2 , 2 3 + a 2 2 + b 2 + c = 2 ,   8 + 4 a + 2 - 3 + ( 5 )

= 2 ,   7 + 4 a

Jogando agora:

y = 9 + 4 a x + n 2

- 3 = 9 + 4 a 0 + n 2 ( 7 + 4 a ) = 9 + 4 a ( 2 ) + n 2

Da primeira equação:

n 2 = - 3

Vamos olhar a segunda agora!

( 7 + 4 a ) = 9 + 4 a ( 2 ) + ( - 3 )

7 + 4 a = 18 + 8 a + ( - 3 )

- 8 = 4 a

a = - 2

Pronto, já temos as 3 variáveis!

Resposta

a = - 2   ; b = - 3   ; c = 5

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