Exercícios Resolvidos de Reta tangente

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 186-37. MODIFICADO

Sendo:

f x = 4 + cot ( x ) - 2 csc ( x )

Encontre as equações para:

  1. A tangente à curva em P .
  2. A tangente horizontal à curva em Q .

Passo 1

Começando pela letra a . A equação geral da reta tangente é:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

A reta tangencia a função no ponto P , então já temos dois valores:

P = π 2 , 2 = x 0 , f x 0

x 0 = π 2

f x 0 = 2

Assim, já podemos substituir na equação da reta:

y - 2 = f ' ( x 0 ) x - π 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Falta agora determinar f ' x 0 . Para tal, derivamos a função:

f ' ( x ) = - c os s e c 2 x + 2 c os s e c ( x ) cot g ( x )

No ponto P = x = π / 2 :

f ' π / 2 = - c os s e c 2 π / 2 + 2 c os s e c ( π / 2 ) cot g ( π / 2 ) = - 1

Pronto! Já temos nossa reta:

y - 2 = f ' x 0 x - π 2 y - 2 = - 1 x - π 2

y = 2 - x - π 2

Olhe como fica:

Passo 3

Agora a letra b . Pode parecer complicado aqui o fato de você não sabre as coordenadas do ponto Q.

Mas o pulo do gato está no enunciado ter dito que a tangente nesse ponto é horizontal. Se a tangente é horizontal. O coeficiente dela é zero!

Então, da equação geral da reta tangente, temos de cara que:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0 y - f x 0 = 0 x - x 0 y - f x 0 = 0

Logo:

y = f ( x 0 )

Só precisamos achar f ( x 0 ) .

Passo 4

Mas como achar x 0 para calcular   f ( x 0 ) ? Achamos pelo fato de que f ' x 0 = 0 .

Lá na da letra a temos que:

f ' ( x ) = - c os s e c 2 x + 2 c os s e c ( x ) cot g ( x )

Igualando à zero:

- c os s e c 2 x + 2 c os s e c x cot g x = 0

2 cot g x = c os s e c x

2 cos x sen x = 1 sen x

cos ( x ) = 1 2

O cosseno é igual ½ em:

x = π 3

Existem muitos outros pontos onde o cosseno é igual a ½, mas este é o ponto que queremos, pois, olhando no gráfico do enunciado:

Vemos que a coordena x de Q está entre 1 e π / 2 . O único ponto onde o cosseno é ½ entre esses valores é x = x 0 = π / 3 .

Passo 5

Com   x 0 = π / 3 :

f π / 3 = 4 + cot g π / 3 - 2 c os s e c π / 3 = 4 + 3 3 - 4 3 3

f π / 3 = 4 - 3

Que será nossa amiga tangente como mostramos no passo 3 :

y = 4 - 3

Resposta

  1. y = 2 - x - π 2
  2. y = 4 - 3

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