Um carro está fazendo uma curva apoiado em um plano inclinado da forma indicada na figura ao lado, que mostra o plano transversal ao movimento do carro.

  1. Faça um esboço das forças que atuam no carro no plano transversal ao movimento. Considere que o atrito é desprezível.
  2. Desprezando o atrito, encontre a velocidade com a qual o carro está fazendo a curva em função da aceleração da gravidade g , do raio de curvatura desta curva, R , e do ângulo de inclinação da curva, θ .
  3. Deste item em diante, considere agora uma situação em que há atrito e o motorista está correndo na velocidade máxima sem escorregar para fora da curva. Esboce as forças envolvidas no plano transversal nesta situação.
  4. Encontre a velocidade máxima na qual o carro ainda é capaz de fazer a curva sem derrapar em função de g , R , θ e o coeficiente de atrito estático μ .

Passo 1

L e t r a   A :

POW! Para vamos desenhar as forças aí, temos que antes nos fazer a seguinte pergunta: quem são as forças que atuam nesse carro?

  1. A primeira força que atua aí é o peso do carro direcionado para baixo:
  2. A segunda força que atua é a normal direcionada na direção perpendicular do chão porque é justamente a força de reação ao peso feita pelo chão no carro:

E prontinho! Não tem nenhuma outra força atuando na seção!

Passo 2

L e t r a   B :

Pow! Veja bem, repare que a força normal tem uma leve inclinação para a esquerda. Essa componente que vou chamar de N y . E como o carro está numa curva, essa força atua como uma força centrípeta F c !

N y = F c

Bem, de um lado, podemos falar que por trigonometria...

Então...

N y = N sin ⁡ θ

E de outro lado, a força centrípeta...

F c = m v 2 R

Então...

m v 2 R = N sin ⁡ θ     →

v 2 = R N m sin ⁡ θ     →

v = R N m sin ⁡ θ  

Passo 3

Bem, mas ainda falta a gente falar quem é o N .

Pow! Sabemos que a normal está relacionada com o peso, já que não existe movimento na direção normal do plano...

N cos ⁡ θ = P

E o peso P é m g então...

N = m g cos ⁡ θ

v = R m g m cos ⁡ θ sin ⁡ θ     →

v = R g tan ⁡ θ  

Passo 4

L e t r a   C :

Bem, a diferença desses para o outro item a é de que temos a força de atrito na parada. O atrito no caso tem que estar para baixo, já que o carro tende a sair da pista...

Passo 5

L e t r a   D :

De modo análogo ao anterior, podemos falar que a força centrípeta é a componente N y . Só que agora tem um diferencial! Além da componente N y temos também a participação da componente F a t y ...

Então...

F c = N + F a t y       →

m v 2 R = N sin ⁡ θ + F a t cos ⁡ θ     →

v 2 = R m N sin ⁡ θ + F a t cos ⁡ θ     →

v = R m N sin ⁡ θ + F a t cos ⁡ θ

Só que a força de atrito é a normal N vezez o coeficiente de atrito μ , de modo que...

v = N R m sin ⁡ θ + μ cos ⁡ θ

Passo 6

POW! Então está faltando a gente encontrar quem é a normal N .

Repare que rebatendo as forças para o eixo x ...

N cos ⁡ θ = P - F a t x     →

N cos ⁡ θ = m g - F a t sin ⁡ θ     →

N cos ⁡ θ = m g - N   μ sin ⁡ θ     →

Isolando o N ...

N cos ⁡ θ + N   μ sin ⁡ θ = m g     →

N cos ⁡ θ +   μ sin ⁡ θ = m g     →

N = m g cos ⁡ θ +   μ sin ⁡ θ    

Concluímos então que a velocidade nessa condição é...

v = N R m sin ⁡ θ + μ cos ⁡ θ     →

v = m g R m sin ⁡ θ + μ cos ⁡ θ cos ⁡ θ +   μ sin ⁡ θ     →

v = g R sin ⁡ θ + μ cos ⁡ θ cos ⁡ θ +   μ sin ⁡ θ  

Resposta

Letra A:

Letra B:

v = R g tan ⁡ θ  

Letra C:

Letra D:

v = g R sin ⁡ θ + μ cos ⁡ θ cos ⁡ θ +   μ sin ⁡ θ

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