Três astronautas, impulsionados por mochilas a jato, empurram e guiam um asteroide de 120   k g para uma base de manutenção, exercendo as forças mostradas na Fig. 5-29, com F 1   =   32   N , F 2   = 55   N , F 3   =   41   N , θ 1   =   30 ° e θ 3   =   60 ° . Determine a aceleração do asteroide

(a) em termos dos vetores unitários e como

(b) um módulo e

(c) um ângulo em relação ao semieixo x positivo.

Passo 1

Oi pessoal, a ideia para resolver essa questão é fazer desenho! Então para cada etapa vou fazer od esneho das componentes dos vetores! Vamos lá?

Letra (a):

Bom galera , como a força resultante aplicada ao asteroide é F → r e s = F → 1 + F → 2 + F → 3 , nós sabemos que a aceleração do asteroide é dada por a → = F → 1 + F → 2 + F → 3 m

Podemos decompor esses vetores em termos dos vetores unitários (componentes vertical e horizontal):

As componentes vertical e horizontal dos vetores F 1 → e F 3 → estão representados pelas setas tracejadas (preto e laranja respectivamente). O único vetor que não precosa ser decomposto é o F 2 → , piis ele está todo ao longo de x .

Na notação dos vetores unitários, as forças exercidas pelos astronautas são:

F → 1 = 32   N cos ⁡ 30 ° i →   + sen ⁡ 30 ° j → = 27,7   N i → + 16   N j →

F → 2 = 55   N cos ⁡ 0 ° i →   + sen ⁡ 0 ° j → = 55   N i →

F → 3 = 41   N cos ⁡ ( - 60 ° ) i →   + sen ⁡ ( - 60 ° ) j → = 20,5   N i → - ( 35,5   N ) j →

A soma vetorial é ser feita componente a componente (i com i, j com j)!

A aceleração do asteroide é, portanto,

a → = 27,7 i → + 16 j → N + 55 i → N + 20,5 i → - 35,5 j → N 120   k g = 0,86 m s 2 i → - 0,16 m s 2 j →

Beleza?

Passo 2

Letra (b):

O módulo de um vetor a → = a x i ^ + a y j ^ é

a → = a x 2 + a y 2  

Como calculamos as componentes do vetor aceleração no passo anterior, podemos calcular o módulo da aceleração!

Assim o módulo do vetor aceleração é:

a → = 0,86 2 + - 0,16 2 = 0,88 m / s 2

Passo 3

Letra (c):

Podemos achar o ângulo que o vetor a → faz com o eixo x usando a trigonometria básica! O ângulo do vetor aceleração com o semieixo x positivo é o arco tangente da razão entre as componentes y e x ! Aproveitando o resultado das componentes do passo 1, o ângulo com o eixo horizontal é:

θ = tan - 1 ⁡ a y a x = tan - 1 ⁡ - 0,16 0,86 =   - 11 °

Tranquilo pessoal? É isso!

Espero ter ajudado!

Resposta

a )   a → = 0,86 m s 2 i → - 0,16 m s 2 j →

b ) a → = 0,88 m / s 2

c )   θ = - 11 °

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