Exercícios Resolvidos de Segunda Lei de Newton

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 117-5

Duas forças agem sobre a caixa de 2,00   k g vista de cima na Fig.5-31, mas apenas uma é mostrada. Para F 1 = 20,0   N , a = 12   m / s 2 e θ = 30,0 ° , determine a segunda força (a) em termos dos vetores unitários e como um (b) módulo e (c) um ângulo em relação ao semieixo x positivo.

Passo 1

Primeiro de tudo, esquece aquela força F → 1 ...

Vamos à Segunda Lei de Newton:

F → R = m a →

Então, se conhecemos a aceleração a → e a massa m , podemos encontrar a força resultante sobre a caixa.

F R = 2 12 = 24   N

Sendo o vetor F → R na mesma direção e sentido que o vetor a → .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Qual a ideia agora?

Bom, existem duas forças agindo sobre a caixa.

A força F → 1 nós conhecemos, mas a F → 2 nós não conhecemos:

Mas sabemos que a força resultante (conhecida) será a soma delas:

F → R = F → 1 + F → 2

Passo 3

Vamos escrever o vetor Força Resultante em termo de suas componentes.

A componente vertical está “colada” no ângulo, então ela será a componente com o cosseno, enquanto a componente na horizontal está “separada” do ângulo, então terá o seno:

F R x = F R   s e n θ

F R y = F R   c o s θ

Fazendo essas continhas, temos:

F R x = 24   s e n 30 ° = 24 1 2 = 12   N

F R y = 24 cos ⁡ 30 ° = 24 3 2 = 12 3   N

Podemos escrever o vetor F → R .

Tanto a componente na horizontal quanto a componente na vertical estão no sentido negativo do eixo, logo:

F → R = - 12   N i ^ + - 12 3   N j ^

Passo 4

Agora que já temos a força resultante fica mole!

Voltando à relação de que a F → R é a soma de todas as forças sobre o corpo, temos:

F → R = F → 1 + F → 2

Aqui, temos a opção de trabalhar com cada eixo separadamente, ou então, usar a equação na própria forma vetorial.

Vamos usar direto na forma vetorial!

Como a força F 1 (conhecida) está na direção positiva do eixo x , o vetor F → 1 será:

F → 1 = 20   N i ^

Substituindo os vetores na expressão, temos:

- 12 i ^ + - 12 3 j ^ = 20 i ^ + F → 2

F → 2 = - 12 - 20 i ^ + - 12 3 j ^

F → 2 = - 32   N i ^ + - 12 3   N j ^

Assim, respondemos a letra (a).

Passo 5

Na letra (b), queremos o módulo da força F → 2 .

Para achar o módulo de um vetor, basta fecharmos um triângulo retângulo com as suas componentes e aplicarmos Pitágora:

Não se preocupe com desenhar o retângulo na orientação certiiiinha, pois o Pitágoras vai funcionar da mesma maneira.

O importante é que as componentes são perpendiculares.

Assim, temos:

F 2 2 = F 2 x 2 + F 2 y 2

F 2 = - 32 2 + - 12 3 2

F 2 = 1456 ≅ 38,15   N

Respondida a letra (b).

Passo 6

Agora na letra (c), queremos um dos ângulos entre a força F → 2 e o semi-eixo positivo x .

Então, primeiro vamos descobrir o ângulo de inclinação de F → 2 com relação a horizontal.

Para achar o ângulo α , podemos partir das componentes horizontal e vertical.

Fechar um triângulo com as componentes horizontal e vertical e usar alguma das identidades trigonométricas:

t g α = F 2 y F 2 x = 12 3 32 = 0,65

Como não é nenhum dos ângulos notáveis (30°, 45° ou 60°), precisamos usar a calculadora e calcular o arcotangente t a n - 1 de α , para descobrir o arco cuja tangente vale 0,65 :

α = t a n - 1 t a n   α

α = t a n - 1 0,65

α = 33 °

Para obter um dos dois ângulo entre F → 2 e o semi-eixo positivo x , basta somar 180 ° :

α + 180 ° = 213 °

Respondemos a letra (c).

OBS: O segundo ângulo entre F → 2 e x positivo seria.

180 ° - α = 147 °

Resposta

  1. F → 2 = - 32   N i ^ + - 12 3   N j ^
  2. F ≅ 38,15   N
  3. α ≅ 213 °

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