Exercícios Resolvidos de Segunda Lei de Newton

O vetor r → t = 3 t + 2 t 3 i ^ + 1 - 6 t 2 + t 4 j ^ representa a posição em metros de uma partícula de massa m = 0,50   k g . Qual a força resultante que atua sobre a partícula no

tempo t = 1   s ?

(a) F → R = - 3,0   i ^ - 1,0   j ^   N

(b) F → R = - 3,0   i ^ + 1,0   j ^   N

(c) F → R = 0 , 0   i ^ + 0 , 0   j ^   N

(d) F → R = 3,0   i ^   N

(e) F → R = 3,0   i ^ + 1,0   j ^   N

(f) F → R = 6 , 0   i ^   N

(g) F → R = 9 , 0   i ^ + 1,0   j ^   N

(h) F → R = 9 , 0   i ^ + 2 , 0   j ^   N

(i) F → R = 12 , 0   i ^ + 2 , 0   j ^   N

Passo 1

A questão dá o vetor posição r → t .

Esse vetor descreve exatamente como será o movimento da partícula, já que sabemos em todo momento sua posição.

Queremos achar a força resultante F → R sobre a partícula no instante t = 1,0   s .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para achar a força resultante sobre a partícula devemos usar a segunda lei de Newton.

Caraca, tudo é sempre a segunda lei de Newton...

Realmente, ela é bem útil hahah.

Mas vamos lá, essa lei diz que a força resultante é a massa vezes a aceleração:

F → R = m a →

Se já temos a massa, basta acharmos a aceleração.

Passo 3

Como vamos achar a aceleração?

Simples, vamos usar o vetor posição r → ( t ) .

A velocidade é a variação da da posição, certo? E a aceleração é a variação da velocidade, né?

Além disso, essa variação em função do tempo é dada pela derivada. Então a aceleração é a derivada da derivada da posição, ou seja a segunda derivada:

a → t = d 2 d t 2 r → t

Calma, não se assusta com essa notação chata.

Basta nós derivarmos duas vezes.

Passo 4

Derivando r → t , achamos a velocidade v → ( t ) :

r → t = 3 t + 2 t 3 i ^ + 1 - 6 t 2 + t 4 j ^

v → t = d d t r → t

v → ( t ) = 3 1 + 2 3 t 2   i ^ + 0 - 6 2 t + 4 t 3   j ^

v → ( t ) = 3 + 6 t 2   i ^ + - 12 t + 4 t 3   j ^

Agora, é só derivarmos novamente para achar a aceleração a → :

a → t = d d t v → t

a → t = 0 + 12 t   i ^ + - 12 + 4 3 t 2   j ^

a → t = 12 t   i ^ + - 12 + 12 t 2   j ^

Passo 5

Já achamos a aceleração, então a força resultante vai ser:

F → R = m a →

F → R = 0,50 12 t   i ^ + - 12 + 12 t 2   j ^

F → R = 6 t   i ^ + - 6 + 6 t 2   j ^

Para terminar, basta acharmos a força no instante t = 1   s :

F → R 1 = 6 1   i ^ + - 6 + 6 1 2   j ^

F → R = 6   i ^ + 0   j ^

F → R = 6   i ^

Logo, a alternativa correta é (f).

Resposta

Letra (f)

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