Duas forças horizontais F 1 → e F 2 → agem sobre um disco de 4,0   k g que desliza sem atrito sobre o gelo, no qual foi desenhado um sistema de coordenadas x y . A força F 1 → aponta no sentido positivo do eixo x e tem módulo de 7,0   N . A força F 2 → tem um módulo de 9,0   N . A Fig. 5-34 mostra a componente v x da velocidade do disco em função do tempo t . Qual é o ângulo entre as orientações constantes das forças F 1 → e F 2 → ?

Passo 1

Fala pessoal, vem comigo pra mais um?

Vamos fazer um desenho para entendermos o que tá se passando.

A Força F → 1 está na direção do eixo x .

Já a força F → 2 está numa posição qualquer, então vamos colocar com um ângulo θ qualquer da F → 1 :

A ideia é que com o gráfico da velocidade sobre o tempo, conseguimos a aceleração no eixo x . Feito isso, podemos aplicar a Segunda Lei de Newton e descobrir a força resultante na direção x :

F R x = m a x

Por fim, podemos relacionar a força resultante com a soma na horizontal de F → 1 e F → 2 . E aqui é o seguinte a força horizontal F 1 → nós temos e F 2 → também, só vai faltar aí é decompor essa força inclinada pra horizontal, e é aí que o ângulo vai aparecer então fiquem ligados pois é esse ângulo que a gente quer!

Passo 2

Vamos usar o gráfico dado para obter informações.

Observando bem ele, conseguimos ver que o movimento no eixo x se trata de um MUV, porque a velocidade varia uniformemente (reta).

A aceleração é a variação da velocidade:

a = ∆ v ∆ t = v f - v i t f - t i  

Logo, basta pegar quaisquer dois pontos do gráfico e calcular esse ∆ v / ∆ t .

Aqui vou escolher o ponto inicial:

v i = - 4 m / s e t i = 0 s

E o ponto final:

v f = 2 m / s   e   t = 2 s

Você poderia ter escolhido outro ponto também se quisesse o ideal é escolher um ponto fácil de trabalhar, assim:

a x = 2 - - 4 2 - 0 = 6 2

a x = 3   m / s 2

Com a aceleração bora pra força em x .

Passo 3

Agora nós temos: a aceleração no eixo x e a massa do disco, portanto, podemos usar da segunda lei de Newton para achar a força resultante no eixo x :

F R x = m a x

Com m = 4 k g e a aceleração encontrada temos:

F R x = 4 × 3 = 12 N

F R x = 12   N

Passo 4

Agora, para achar o ângulo vamos fazer o somatório de forças na horizontal.

Bom, mas F → 1 já está na horizontal, porém F → 2 não...

Logo, temos que pegar sua componente horizontal:

Aqui por trigonometria vamos decompor essa força F 2 fazendo a seguinte relação:

F 2 x = F 2   c o s θ

E encontramos alguma relação com o ângulo que queremos, vamos dar um jeito de isolar ele jajá.

Passo 5

Aplicando a segunda lei de Newton temos que o somatório das forças horizontais é:

∑ F = F R x = F 1 + F 2 c o s θ

Beleza, conhecemos todo mundo aqui mas antes vamos isolar o cosseno do ângulo pra encontrar o ângulo depois!

F R x = F 1 + F 2   c o s θ

F R x - F 1 F 2 = c o s θ

Vamos substituir os valores calculados e dados do enunciado.

F 1 = 7 N

F 2 = 9 N

F R x = 12   N

Substituindo na equação temos:

c o s θ = F R x - F 1 F 2

c o s θ = 12 - 7 9 = 5 9

Agora pra encontrar o ângulo vamos fazer a trigonométrica inversa, mas o que é isso? Pro cosseno a inversa é conhecida como arcocosseno, e a gente lê como se fosse “O arco cujo cosseno é θ ”. E aí você inverte, tira o θ do cosseno e coloca a r c c o s no número que você calculou.

θ = arccos ⁡ 5 9 = 56,25 °

Talvez na sua calculadora essa função apareça como cos - 1 ⁡ 5 9   , mas não esquenta é a mesma função só vai ficar assim:

θ = cos - 1 ⁡ 5 9 = 56,25 °

Encontramos o nosso ângulo, vamos praticar mais juntos??

Resposta

θ = 56,25 °

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