Encontre a velocidade x ˙ em função do tempo t no item i ) e em função de x no item i i ) para uma partícula de massa m . Em ambos os casos, a partícula está partindo do repouso em x = 0 em t = 0 .

i ) F = F 0 e c t

i i ) F = F 0 e - c x

Onde F 0 e c são constantes positivas reais.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente encontrar a velocidade da partícula em função do tempo e em função da posição, usando as duas equações do movimento que ele nos deu. Em ambos os casos, a gente vai precisar lembrar da segunda lei de Newton na forma:

F = m x ¨

Conhecendo a força F , nós conseguimos integrar essa equação para obter a velocidade x ˙ ( t ) e a posição x ( t ) .

Vamos lá!

Passo 2

Em i ) , temos F = F 0 e c t . Logo, a segunda lei tem a forma:

m x ¨ = F 0 e c t

x ¨ t = F 0 e c t m

Integrando essa equação, temos:

x ˙ t = ∫ x ¨ t d t = F 0 e c t m c + k

onde k é uma constante de integração. Como a partícula está partindo do repouso em x = 0 e t = 0 , temos:

0 = F 0 m c + k

k = - F 0 m c

Subsituindo na equa��ão, temos a velocidade:

x ˙ t = F 0 e c t m c - F 0 m c

x ˙ t = F 0 m c ( e c t - 1 )

Passo 3

Em i i ) F = F 0 e - c x , temos algo parecido. Vamos isolar a aceleração x ¨ t e integrar para obter a velocidade:

m x ¨ = F 0 e - c x

x ¨ t = F 0 e - c x m

Integrando essa equação, temos:

x ˙ t = ∫ x ¨ t d t = - F 0 e - c x m c + k

Aplicando as condições iniciais do problema onde x = 0 e t = 0 , temos:

0 = - F 0 e - 0 m c + k

k = F 0 m c

Substituindo o valor da constante na equação, temos a velocidade em função de x :

x ˙ t = - F 0 e - c x m c + F 0 m c

x ˙ t = F 0 m c 1 - e - c x

Prontinho, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

x ˙ t = F 0 m c ( e c t - 1 )

x ˙ t = F 0 m c 1 - e - c x

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