Exercícios Resolvidos de Segunda Lei de Newton

USP – Física 1 – 2020 – P-SUB – Discursiva

Q 5 - Uma partícula de massa m (medida em k g ) se movimenta sob a ação da força resultante F → = F 1 t 2 i ^ + F 2 t   +   F 3 j ^ (medida em Newtons). Se em t = 0 a partícula está localizada em r → 0 = r 0 x i ^ + r 0 y j ^ (medido em metros) e tem velocidade v → 0 = v 0 x i ^ + v 0 y j ^ (medida em m / s ), determine o módulo do vetor posição da partícula (medido em metros) em um instante t = t A (medido em segundos).

Passo 1

Então, vamos mostrar quem manda para essa questão? Vem comigo!

O problema quer que encontremos o módulo do vetor posição, mas temos que achar esse vetor primeiro. Como o enunciado nos fornece o vetor força resultante que atua na partícula, usando que pela segunda lei de Newton, temos:

F → = m a →

Usando que:

a → = d v → d t

v → = d r → d t

Então podemos descobrir o vetor aceleração a partir do vetor força, depois conseguimos achar o vetor velocidade e por último podemos chegar no vetor posição. Vamos nessa então.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos o seguinte:

F → = m d v → d t

d v → = 1 m F →   d t

Agora vamos integrar do lado esquerdo de v → 0 (já que o enunciado nos fornece) até v ( t ) (velocidade em um estante qualquer) e do lado direito vamos integrar de t = 0 (onde temos v → 0 ) até um instante t qualquer, assim:

∫ v → 0 v → ( t ) d v → = ∫ 0 t 1 m F →   d t

Como temos que F → = F 1 t 2 i ^ + F 2 t   +   F 3 j ^ , ficamos com:

∫ v → 0 v → ( t ) d v → = 1 m ∫ 0 t F 1 t 2 i ^   d t + ∫ 0 t F 2 t   +   F 3 j ^   d t

⇒ v → t - v → 0 = 1 m F 1 t 3 3 i ^ + F 2 t 2 2 + F 3 t j ^

Usando que v → 0 = v 0 x i ^ + v 0 y j ^ , temos que:

v → t = v 0 x + F 1 t 3 3 m i ^ + v 0 y + F 2 t 2 2 m + F 3 t m j ^

Passo 3

Agora, temos que:

v → = d r → d t

⇒ d r → = v → d t

Agora vamos integrar do lado esquerdo de r → 0 (já que o enunciado nos fornece) até r ( t ) (posição em um estante qualquer) e do lado direito vamos integrar de t = 0 (onde temos r → 0 ) até um instante t qualquer, assim:

∫ r → 0 r → ( t ) d r → = ∫ 0 t v → d t

Usando a expressão que encontramos para v → ( t ) , temos:

∫ r → 0 r → ( t ) d r → = ∫ 0 t v 0 x + F 1 t 3 3 m i ^   d t + ∫ 0 t v 0 y + F 2 t 2 2 m + F 3 t m j ^   d t

⇒ r → t - r → 0 = v 0 x t + F 1 t 4 12 m i ^ + v 0 y t + F 2 t 3 6 m + F 3 t 2 2 m j ^

Usando que r → 0 = r 0 x i ^ + r 0 y j ^ , temos que:

r → t = r 0 x + v 0 x t + F 1 t 4 12 m i ^ + r 0 y + v 0 y t + F 2 t 3 6 m + F 3 t 2 2 m j ^

Esse é o vetor posição em um tempo t qualquer.

Passo 4

Agora vamos calcular o módulo desse vetor no instante t = t A pedido no enunciado, temos que:

r → t = t A = r 0 x + v 0 x t A + F 1 t A 4 12 m i ^ + r 0 y + v 0 y t A + F 2 t A 3 6 m + F 3 t A 2 2 m j ^

O módulo desse vetor é dado por:

r → t = t A = r 0 x + v 0 x t A + F 1 t A 4 12 m 2 + r 0 y + v 0 y t A + F 2 t A 3 6 m + F 3 t A 2 2 m 2

E finalizamos com sucesso!

Resposta

r → t = t A = r 0 x + v 0 x t A + F 1 t A 4 12 m 2 + r 0 y + v 0 y t A + F 2 t A 3 6 m + F 3 t A 2 2 m 2

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