Um cilindro de massa m e raio R está rodando sobre uma fenda em V com uma velocidade angular ω 0 . O coeficiente de atrito entre o cilindro e a superfície é μ .

Qual é o torque externo necessário aplicado no cilindro para que ele se mantenha rotacionando com velocidade constante?

Expresse suas respostas em termos das variáveis do exercício e considere g para a aceleração da gravidade.

Passo 1

Fala aí pessoal tudo bom com vocês?

Nessa questão temos um cilindro, conforme mostrado na figura, que está rotacionando sem sair da fenda em V . Na superfície da fenda há atrito e também a normal atuando no cilindro.

O enunciado nos pede para calcular qual o torque externo necessário pra que o cilindro permaneça girando com velocidade constante.

Sacaram?!

Pois bem, tem uma equação muito importante envolvendo movimentos de rotação que diz:

M = I α

Onde M é o torque resultante no corpo. Como queremos que a velocidade do corpo seja nula, teremos α = 0 . Assim:

M = 0

Ou seja, o que o enunciado realmente nos está pedindo é para calcular o torque externo necessário para que o torque resultante seja nulo.

Pra responder essa pergunta precisamos primeiro avaliar quais as forças que estão atuando no cilindro e calcular o torque com relação ao seu centro. A partir disso, podemos equacionar uma variável para o torque externo, de modo que ele zere o momento resultante.

Tranquilo? Vamo nessa!

Passo 2

Bom, no cilindro estão atuando as seguintes forças:

- Força peso no centro do cilindro;

- Duas reações normais de contato na fenda em V ;

- Duas forças de atrito nos dois contatos da fenda em V .

Assim, temos o seguinte diagrama de forças para o cilindro:

(O sentido da força de atrito leva em conta que o cilindro roda no sentido anti-horário, assim o atrito deve ir contra a tendência desse movimento no ponto de contato).

Como estamos numa situação de equilíbrio estático, pois o cilindro apenas rotaciona, temos que:

F a t D = μ ⋅ N D F a t E = μ ⋅ N E

Beleza! Muito bom 😊

Passo 3

Agora que já vimos como as forças estão distribuídas, podemos usar as equações do equilíbrio estático. Começando pelo somatório de forças na vertical igual a zero, temos:

2 2 N E + μ N E + N D - μ N D - P = 0

⇒ P 2 = N E 1 + μ + N D ( 1 - μ )

Excelente! Tomando agora o equilíbrio de forças na horizontal, temos:

2 2 ⋅ μ N E + N D + μ N D - N E = 0

∴ N D 1 + μ + N E ( μ - 1 ) = 0

⇒ N D = N E 1 - μ 1 + μ

Juntando as duas equações, encontramos que:

N E 1 + μ + N E 1 - μ 2 1 + μ = P 2  

⇒ N E 1 + μ 2 + 1 - μ 2 = P 2 1 + μ

2 N E 1 + μ 2 = P 2 1 + μ

⇒ N E = P 2 1 + μ 2 1 + μ 2

Daí:

N D =   P 2 1 - μ 2 1 + μ 2

Muito bom!!

Passo 4

Agora que já sabemos o valor das forças em função dos dados do enunciado, podemos utilizar a equação do momento. Vimos no passo 1 que devemos ter:

∑ M = 0

Isso considerando o torque externo, que chamaremos de T e . Assim, tomando o centro do cilindro para calcular os momentos, apenas as forças de atrito e o torque externo exercerão torque. Logo:

N E ⋅ R + N D ⋅ R - T e = 0

∴ T e = P 2 1 + μ 2 1 + μ 2 ⋅ R + P 2 1 - μ 2 1 + μ 2 ⋅ R

= P R 1 + μ 2 ⋅ 2 2 ⋅ 1 + μ 1 - μ  

Portanto:

T e = 2 P ⋅ R 1 + μ 2

Prontinho, galera! Matamos mais uma questãozita!

Vocês curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

2 P ⋅ R 1 + μ 2

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