Assinale abaixo o conjunto que é um subespaço vetorial de R 3 de dimensão igual a 2:

(a) x ,   y ,   z ∈ R 3 |   x = 1

(b) x ,   y ,   z ∈ R 3 |   x ≥ 0

(c) { x ,   y ,   z ∈   R 3 |   x = y }

(d) { x ,   y ,   z ∈   R 3 |   x = y = z }

Passo 1

Vamos relembrar o que um conjunto precisa para ser subespaço vetorial do   R 3 :

  1. Fechado para a soma vetorial
  2. Fechado para a multiplicação por escalar
  3. Conter vetor nulo

Além do conjunto ter essas condições acima, ele deve ter dimensão igual a 2.

Passo 2

Vamos testar um a um então:

(a) x ,   y ,   z ∈ R 3 |   x = 1

Esse é o conjunto formado pelos vetores 1 , y , z ,   ou seja, todos os vetores com o 1 como primeira coordenada.

Acontece que ele não contem o ( 0,0 , 0 ) , vetor nulo, então não vai poder ser um subespaço vetorial!

(b) x ,   y ,   z ∈ R 3 |   x ≥ 0

Já esse é formado por todos os vetores com primeira coordenada positiva.

Ele também não vai ser um subespaço pois não pode ser fechado para multiplicação por escalar!

Isso porque se eu multiplicar por um escalar negativo minha primeira coordenada vai virar negativa e, portanto, não vai pertencer mais ao meu espaço.

Exemplo:

- 1 ∙ ( 1,2 , - 3 ) ⟹ ( - 1 , - 2,3 )

(c) { x ,   y ,   z ∈   R 3 |   x = y }

Esse espaço pode ser escrito dessa forma:

x , y , z ⟹ x , x , z ⟹ x 1,1 , 0 + z ( 0,0 , 1 )

Opa, achamos uma base para ele com 2 vetores, ou seja, a dimensão é 2, como queríamos!

Mas vai ser subespaço vetorial?

Bom, um espaço de dimensão 2 no R 3 vai ser um plano e um plano sempre vai ser fechado para soma e para multiplicação por escalar. Além disso, o vetor 0,0 , 0 está contido nele!

Logo, essa opção está de acordo com todas as minhas condições!!  

Resposta

c

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b. B ∈ M n nA B ≠ B A } .
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