Considere o espaço vetorial M 2 × 2 das matrizes de duas linhas e duas colunas e dois subconjuntos:

U = A ∈ M 2 × 2   D e t A = 0 }

V = a c b d ∈   M 2 × 2   a + c = 0   e   b + d = 0 }

(a) Mostre que U não é subespaço vetorial de M 2 × 2

(b) Mostre que V é subespaço vetorial de M 2 × 2 .

Passo 1

Vamos lembrar que pra ser subespaço vetorial, um subconjunto W deve obedecer a 3 regrinhas:

  • 0 ∈ W
  • W é fechado para a soma: u , v   ∈ W ⇒ u + v ∈ W
  • W é fechado para a multiplicação por escalar: λ ∈ R ,   v ∈ W ⇒ λ v ∈ W

Passo 2

(a) O elemento neutro das matrizes 2 × 2 pertence a U, pois:

0 0 0 0

Tem determinante igual a 0.

Vamos testar agora a soma de dois elementos de U.

As matrizes:

A =   1 0 3 0

E

B = 1 1 2 2

São elementos de U, pois são 2 × 2 e tem determinante igual a 0.

Mas se fizermos a soma das duas, vamos ter a matriz:

C = 2 1 5 2

Que não pertence a U, pois d e t ⁡ ( C ) ≠ 0 .

Então, U não é fechado para a soma e não é subespaço vetorial de M 2 × 2 .

Passo 3

(b) Agora vamos ter que mostrar que os 3 pontinhos que mencionei no passo 1 são verdade.

Pra começar o elemento neutro das matrizes 2 × 2 pertence a V, pois:

0 0 0 0

Tem a + c = 0   e   b + d = 0 .

Agora vamos pegar dois elementos genéricos de V:

A = a 1 - a 1 b 1 - b 1

B = a 2 - a 2 b 2 - b 2

Somando os dois:

A + B = a 1 + a 2 - a 1 - a 2 b 1 + b 2 - b 1 - b 2

Temos que:

a 1 + a 2 - a 1 - a 2 = 0

b 1 + b 2 - b 1 - b 2 = 0

Então, a soma de elementos de V também pertence a V!

Agora vamos testar a multiplicação por escalar na matriz A que definimos antes.

Multiplicando-a por λ :

A = λ a 1 - λ a 1 λ b 1 - λ b 1

Ainda continuamos tendo:

λ a 1 - λ a 1 = 0

λ b 1 - λ b 1 = 0

Então, a multiplicação de um elemento de V por um escalar também pertence a V!

O subconjunto V é fechado para a soma e para a multiplicação por escalar, além de possuir o elemento neutro.

Logo, ele é subespaço vetorial.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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