Sejam a , b   ∈ R considere o subespaço

S   =   [ 1   +   2 x   −   2 x 2   +   x 3 ,   2   +   2 x   +   a x 2   +   3 x 3 ,   − 1   +   6 x   −   2 x 2   +   b x 3 ]

do espaço vetorial   P 3 ( R ) . Se d i m ( S )   =   2 , então a   +   b é igual a:

  1. - 8
  2. 6
  3. 0
  4. 7
  5. - 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. descobrir o valor de a   +   b , e para isso, é informado que d i m ( S )   =   2 , onde

S   =   [ 1   +   2 x   −   2 x 2   +   x 3 ,   2   +   2 x   +   a x 2   +   3 x 3 ,   − 1   +   6 x   −   2 x 2   +   b x 3 ]

E aí? alguma ideia de como começar? Talvez seja interessante representarmos os elementos de S de outra forma.

Passo 2

Bem, vamos começar representando os elementos de S em outra base, vamos fazer isso para as coisas ficarem mais simples. Vamos escolher uma base para P 3 ( R ) . Alguma ideia? Podemos usar a base mais simples a

E = [ 1 , x , x 2 , x 3 ]

Dessa forma, cada vetor de S pode ser representado como:

1   +   2 x   −   2 x 2   +   x 3 = [ 1,2 , - 2,1 ] E

  2   +   2 x   +   a x 2   +   3 x 3 = [ 2,2 , a , 3 ] E

− 1   +   6 x   −   2 x 2   +   b x 3 = [ - 1,6 , - 2 , b ] E

Passo 3

Agora que temos uma representação melhor para trabalharmos, vamos analisar a seguinte informação do enunciado:

d i m ( S )   =   2

Mas S tem três vetores, logo para essa afirmação ser verdadeira é necessário que um vetor de S seja combinação linear de outros 2 vetores. Vamos montar a matriz contendo os vetores como linhas e escalonar ela para verificar a condição para os vetores serem LD. Montando a matriz, temos:

Vamos fazer as seguintes operações nas linhas

L 2 ← L 2 - 2 L 1

L 3 ← L 3 + L 1

Com isso, temos:

Por fim, fazemos

L 3 ← L 3 + 4 L 2

Obtemos assim a matriz

Passo 4

Qual a condição necessária para a S ter dimensão 2 se a matriz escalonada que obtemos é

Ora, ela precisa ter uma linha inteira zerada, pois o processo de escalonamento é uma combinação linear das linhas da matriz e isso implicaria nelas sendo LD. Logo precisamos que

4 a   +   12   =   0   e   b   +   5   =   0

a   =   − 3   e   b   =   − 5

Logo, temos que

a + b = - 8

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão