Enunciado

Considere o subconjunto de M 2 × 2 definido por:

Z = A ∈ M 2 × 2 A ∙ 1 - 2 = 0 0 }

Z é um subespaço vetorial de M 2 × 2 ?

Passo 1

Perceba que o conjunto em questão possui como elemento matrizes 2 × 2 . Logo, são esses elementos que temos que testar, para ver se é ou não subespaço vetorial.

Passo 2

0 ∈ Z ?

Podemos ver que a matriz nula, A = 0 0 0 0 satisfaz as condições do conjunto. Pois

A ∙ 1 - 2 = 0 0

Logo, a resposta é sim.

Passo 3

A 1 , A 2 ∈ Z ⇒ A 1 + A 2 ∈ Z ?

Tudo bem então vamos verificar se a soma satisfaz as condições do problema.

A 1 + A 2 ∙ 1 - 2 = 0 0 ⇒ A 1 ∙ 1 - 2 + A 2 ∙ 1 - 2 = 0 0   1

Agora, aplicamos a hipótese: A 1 , A 2 ∈ Z , que significa que ambas as matrizes satisfazem a condição do conjunto:

A 1 ∙ 1 - 2 = 0 0

A 2 ∙ 1 - 2 = 0 0

Substituindo em 1 :

A 1 ∙ 1 - 2 + A 2 ∙ 1 - 2 = 0 0

0 0 + 0 0 = 0 0

Os dois lados da equação são iguais. Logo, está fechado para soma.

Passo 4

λ ∈ R ,   A ∈ M 2 × 2 ⇒ λ A ∈ M 2 × 2 ?

Temos que:

λ A ∙ 1 - 2 = 0 0

λ A ∙ 1 - 2 = 0 0

Ao aplicarmos nossa hipótese, temos que:

A ∙ 1 - 2 = 0 0

λ ∙ 0 0 = 0 0

E, assim, vemos que para qualquer λ real:

0 0 = 0 0

Logo está fechado para a multiplicação por escalar, concluindo que Z é um subespaço vetorial de M 2 × 2 .

Resposta

Sim, Z é um subespaço vetorial de M 2 × 2

Exercícios Relacionados

Exercícios de Livros Relacionados