Determine se é subespaço vetorial de R 3 :

a   U = a , b , c ∈ R 3 a , c ∈ R ,   b = a + c + 1 }

b   V = a , b , c ∈ R 3 a , b ∈ R ,   2 a + 3 b = 5 c }

c   K = a , 1,1 ∈ R 3 a ∈ R }

Passo 1

( a ) Para testar se U é um subespaço vetorial de   R 3 , precisamos aplicar o teorema.

Sabemos que o elemento nulo de R 3 é o vetor ( 0 , 0,0 ) .

Aplicando na condição do conjunto da letra ( a ) este vetor, temos

0 = 0 + 0 + 1

0 = 1

Como sabemos que 0 não é igual a 1 , chegamos a um absurdo. Logo, o elemento nulo não está contido nesse conjunto e, portanto, não é um subespaço vetorial de R 3 .

Passo 2

( b ) Vamos aplicar o teorema! De cara podemos ver que

2 ∙ 0 + 3 ∙ 0 = 5 ∙ 0

0 = 0

Portanto, o 0 pertence ao conjunto.

Passo 3

Mas, calma, isso ainda não prova nada... Vamos para a segunda condição do teorema.

Sendo

v 1 = a 1 , b 1 , c 1 ,   v 2 = a 2 , b 2 , c 2

v 1 , v 2 ∈ V ⇒ v 1 + v 2 ∈ V ?

Como

v 1 + v 2 = ( a 1 + a 2 , b 1 + b 2 , c 1 + c 2 )

Aplicando as condições do conjunto temos que:

2 a 1 + a 2 + 3 b 1 + b 2 = 5 c 1 + c 2

2 a 1 + 3 b 1 + 2 a 2 + 3 b 2 = 5 c 1 + c 2

Repare que na nossa implicação no começo do enunciado, usamos a hipótese de: v 1 , v 2 ∈ V . Isso siginifca que eles pertencem ao conjunto e, portanto, cada uma das suas coordenadas satisfaz a equação descrita. Assim, aplicando a hipótese, temos que que:

2 a 1 + 3 b 1 = 5 c 1   e   2 a 2 + 3 b 2 = 5 c 2

Continuando:

2 a 1 + 3 b 1 + 2 a 2 + 3 b 2 = 5 c 1 + c 2

5 c 1 + c 2 = 5 c 1 + c 2

E assim está fechado para soma.

Passo 4

Última condição do teorema:

λ ∈ R ,   v = a , b , c ∈ V ⇒ λ v ∈ V ?

Temos

λ v = ( λ a , λ b , λ c )

Logo, aplicando a condição do conjunto ficaríamos com:

2 λ a + 3 λ b = 5 λ c

λ 2 a + 3 b = λ ( 5 c )

Com isso, ao aplicarmos a hipótese v = a , b , c ∈ V , vemos que:

2 a + 3 b = 5 c

Assim, podemos concluir que:

λ 2 a + 3 b = λ ( 5 c )

λ 5 c = λ 5 c

E é fechado para multiplicação por escalar. Logo, é um subespaço vetorial de R 3 .

Passo 5

Na letra ( c ) podemos ver também de cara que não é um subespaço vetorial!

Basta ver que como o conjunto é composto de elementos do tipo ( a , 1,1 ) , é impossível algum elemento desse conjunto ser o vetor ( 0,0 , 0 ) .

Como ele não possui o elemento nulo do R 3 , ele não é subespaço vetorial.

Resposta

  1. Não é subespaço vetorial.
  2. É subespaço vetorial.
  3. Não é subespaço vetorial.

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
b. B ∈ M n nA B ≠ B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão