Considere os subespaços S 1 e S 2 de M 3 ( R ) definidos por

S 1 = { A - A t   : A ∈ M 3 R } e S 2 = { A ∈ M 3 R   : t r A = 0 }

em que A t denota a transposta da matriz A e t r ( A ) denota a soma dos elementos na diagonal principal de A . Temos que a dimensão de S 1 ∩ S 2 é igual a:

a) 3 ;

b) 4 ;  

c) 2 ;

d) 1 ;

e) 0 .

Passo 1

Eaí pessoal, tudo numa boa?

Essa questão nos dá dois subespaços das matrizes 3 × 3 , nos reais.

S 1 = A - A t   : A ∈ M 3 R

E:

S 2 = A ∈ M 3 R   : t r A = 0

Precisamos determinar a dimensão de S 1 ∪ S 2 .

Para fazer isso, vamos primeiro analisar melhor quem é cada subespaço e a partir daí analisar a dimensão da intersecção deles.

Passo 2

O subespaço S 1 é dado por:

S 1 = A - A t   : A ∈ M 3 R

Ou seja, as matrizes que compõem esse subespaço são todas formadas pela subtração de uma matriz com a sua transposta.

Isso nos dá algumas propriedades bem interessantes, vamos analisa-las.

Digamos que A é a matriz genérica:

A = a b c d e f g h i

Assim:

A t = a d g b e h c f i

Logo, fazendo a operação do subespaço S 1 , temos:

A - A t =   a b c d e f g h i - a d g b e h c f i

=   a - a b - d c - g d - b e - e f - h g - c h - f i - i

= 0 b - d c - g d - b 0 f - h g - c h - f 0  

Olha que interessante! Todos os elementos da diagonal dessa matriz são nulos. Então, quanto vale o seu traço??

Isso mesmo, o traço dessa matriz é nulo!

Puts, mas quem é S 2 mesmo? É o subespaço das matrizes cujo traço é nulo. Entãooo, como qualquer matriz de S 1 possui necessariamente t r = 0 , podemos afirmar que S 2 contém S 1 .

Assim, S 1 ∩ S 2 é justamente igual a S 1 . Muito legal né?!

Passo 3

Bom, já descobrimos que:

S 1 ∩ S 2 = S 1

Assim, avaliar a dimensão de S 1 ∩ S 2 é avaliar a dimensão de S 1 .

Além disso, vimos que qualquer matriz pertencente a S 1 é do tipo:

M =   0 b - d c - g d - b 0 f - h g - c h - f 0

Se olharmos direitinho, vemos que essa matriz é antissimétrica, pois os elementos simétricos em relação a diagonal principal são um o negativo do outro.

Vamos então chamar:

b - d = x c - g = y f - h = z

Assim, podemos reescrever M como:

M = 0 x y - x 0 z - y - z 0

Vamos abrir um pouco essa matriz:

M = x ⋅ 0 1 0 - 1 0 0 0 0 0 + y ⋅ 0 0 1 0 0 0 - 1 0 0 + z ⋅ 0 0 0 0 0 1 0 - 1 0

Olha aí que legal, as matrizes de S 1 são determinadas pela combinação linear de:

0 1 0 - 1 0 0 0 0 0 , 0 0 1 0 0 0 - 1 0 0 ,   0 0 0 0 0 1 0 - 1 0      

Logo,

dim ⁡ S 1 = dim ⁡ S 1 ∩ S 2 = 3

O que nos dá letra a).

É isso gente, espero que vocês tenham curtido a solução 😊

Resposta

Letra a).

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão