Considere o subespaço vetorial W de M 2 ( R ) definido por

W = 1 1 - 1 1 ,   1 3 3 1 ,   1 2 1 1 ,   2 1 - 4 2

e seja B uma base de W . Pode-se afirmar que:

a) B tem três elementos e B ∪ 0 1 2 1 é uma base de M 2 ( R ) ;

b) B tem três elementos e B ∪ 0 0 1 0 é uma base de M 2 ( R ) ;

c) B tem dois elementos e B ∪ 0 1 2 1 , 0 0 1 0   é uma base de M 2 ( R ) ;

d) B tem dois elementos e B ∪ 0 1 0 0 , 0 0 1 0   é uma base de M 2 ( R ) ;

e) B tem dois elementos e B ∪ 0 1 0 0 , 0 0 1 1   é uma base de M 2 ( R ) ;

Passo 1

Fala aí gente, tudo tranquilo?

Nessa questão temos um subespaço vetorial das matrizes 2 × 2 . O enunciado nos fala que ele pode ser gerado por:

W = 1 1 - 1 1 ,   1 3 3 1 ,   1 2 1 1 ,   2 1 - 4 2

Assim, existe uma B de W . Isso é um indício que dentre os vetores acima, temos um conjunto LD.

A partir disso, a questão faz algumas perguntas acerca da base B de W e sobre a base de M 2 ( R ) .

Para resolvê-la precisamos descobrir quais matrizes de W são geradas pela combinação linear de outras. Assim, devemos fazer:

a ⋅ 1 1 - 1 1 + b ⋅ 1 3 3 1 + c ⋅   1 2 1 1 + d ⋅ 2 1 - 4 2 = 0

Se a única solução for a , b , c , d = ( 0,0 , 0,0 ) é porque W é LI.

Vamos verificar!

Passo 2

Fazendo:

a ⋅ 1 1 - 1 1 + b ⋅ 1 3 3 1 + c ⋅   1 2 1 1 + d ⋅ 2 1 - 4 2 = 0

Temos:

a + b + c + 2 d a + 3 b + 2 c + d - a + 3 b + c - 4 d a + b + c + 2 d = 0 0 0 0

Montando o sistema, temos:

a + b + c + 2 d = 0 a + 3 b + 2 c + d = 0 - a + 3 b + c - 4 d = 0 a + b + c + 2 d = 0

Da 1 ° e última equação, temos:

d =   - a + b + c 2

Substituindo na segunda e na terceira equações, vem:

a + 3 b + 2 c + - a + b + c 2   = 0

∴ a 2 + 5 b 2 + 3 c 2 = 0

E:

- a + 3 b + c - 4 - a + b + c 2 = 0

∴ a + 5 b + 3 c = 0

Caímos em duas equações equivalentes, daí podemos ainda escrever

a =   - 5 b - 3 c

E, voltando em d :

d =   - - 5 b - 3 c + b + c 2

d = 2 b + c

Como conseguimos escrever a e d em função de b e c , vemos que apenas:

1 3 3 1 ,   1 2 1 1

São Linearmente independentes.

Logo, a base B de W tem dois elementos.

Passo 3

Analisando as alternativas, vemos que agora precisamos determinar uma base para M 2 R .

Começando pela alternativa c), precisamos verificar se:

1 3 3 1 ,   1 2 1 1 , 0 1 2 1 , 0 0 1 0

é uma base para M 2 ( R ) . Para isso, vamos verificar se esses vetores são L I :

a ⋅ 1 3 3 1 + b ⋅ 1 2 1 1 + c ⋅ 0 1 2 1 + d ⋅ 0 0 1 0 = 0 0 0 0

a + b = 0 3 a + 2 b + c = 0 3 a + b + 2 c + d = 0 a + b + c = 0

Da primeira equação:

b = - a

Substituindo esse resultado na segunda equação:

3 a + 2 - a + c = 0

∴ a + c = 0

⇒ c = - a

Substituindo tudo na última equação, vem:

a + - a + - a = 0

∴ a =   0

Substituindo na terceira equação:

d = 0

Logo, o conjunto é LI. Será que terminou então? Nãoo! Precisamos verificar se esse conjunto é capaz de gerar qualquer matriz M 2 ( R ) . Para isso, podemos verificar se ele gera uma base conhecida de M 2 ( R ) . No nosso caso, a base conhecida é:

1 0 0 0 ,   0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1

Para 1 0 0 0 , temos:

1 0 0 0 = a ⋅ 1 3 3 1 + b ⋅ 1 2 1 1 + c ⋅ 0 1 2 1 + d ⋅ 0 0 1 0

Daí:

  a + b = 1 3 a + 2 b + c = 0 3 a + b + 2 c + d = 0 a + b + c = 0

Substituindo a primeira na última, temos

c =   - 1

Substituindo o resultado na segunda, temos:

a + 2 a + b - 1 = 0

a = - 1 ∴ b = 2

Logo:

d =   3

Portanto, esse elemento da base conhecida pode ser gerado.

Para   0 1 0 0 :

Temos o sistema:

a + b = 0 3 a + 2 b + c = 1 3 a + b + 2 c + d = 0 a + b + c = 0

Substituindo a primeira na última, vem:

c = 0

Substituindo esse resultado junto com a primeira equação na segunda equação, temos:

a = 1 ∴ b = - 1

Assim:

d =   - 2

Portanto, também tem solução.

Para 0 0 1 0 :

Nesse caso a solução é bem simples, já que essa matriz faz parte da base que estamos testando se realmente gera todo o subespaço das matrizes 2 × 2 . Valendo a solução:

a = b = c = 0 ,   d = 1

Por fim, para 0 0 0 1 :

a + b = 0 3 a + 2 b + c = 0 3 a + b + 2 c + d = 0 a + b + c = 1

Daí, novamente substituindo a primeira na última equação, vem:

c = 1

Logo, indo para a segunda equação:

a = - 1 ∴ b = 1

Assim:

d = 0

Portanto, como o conjunto:

1 3 3 1 ,   1 2 1 1 , 0 1 2 1 , 0 0 1 0

É linearmente independente e consegue gerar todo o M 2 ( R ) , esse conjunto de fato é uma base para M 2 ( R ) .

O que nos dá letra c) como resposta.

É isso gente, finalizamos mais uma!

Obrigado pela atenção 😊

Resposta

Letra c).

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão