Seja P 2 o espaço dos polinômios da forma

p x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ;  

a 0 ,   a 1 ,   a 2 ∈ R  

Em qual dos casos abaixo o subconjunto H não é subespaço vetorial de P 2 ?

( a ) H = p ∈ P 2 | p 1 = p 2

( b ) H = p ∈ P 2 | p 1 = 0

( c ) H = p ∈ P 2 | p 1 + p 2 = 0

( d ) H = p ∈ P 2 | p 1 ∙ p 2 = 0

Passo 1

Ei, vamo lembrar primeiro o que é um subespaço vetorial!

Ele é um subconjunto de um espaço vetorial (nesse caso do espaço P 2 ) que mantém todas as combinações lineares de um vetor lá dentro. Além disso, ele deve conter o vetor nulo.

O espaço p ( x ) está escrito na base { 1 ,   x ,   x 2 } , e portanto tem dimensão 3 .

Mas eu sei que o espaço de dimensão 3 que você está acostumado é o R 3 , então vamos escrevê-lo na base canônica de R 3 , { i ^ ,   j ^ ,   k ^ } .

p → x = a 0 i ^ + a 1 j ^ + a 2 k ^ = ( a 0 , a 1 ,   a 2 )

Passo 2

É, parece que teremos que analisar cada uma das alternativas!

Vamos dar uma olhada na letra ( a ) .

Lá diz que

p 1 = p ( 2 )

a 0 + a 1 + a 2 = a 0 + 2 a 1 + 4 a 2

a 1 + a 2 = 2 a 1 + 4 a 2

a 1 = - 3 a 2

Assim, substituindo em p ( x ) :

( a 0 , - 3 a 2 ,   a 2 )

Conseguimos escrever um parâmetro em função do outro!

Então é um conjunto linear que possui dois parâmetros, logo é um subespaço de p ( x ) com dimensão 2 .

Passo 3

Olhando agora a letra ( b ) :

p 1 = 0

a 0 + a 1 + a 2 = 0

a 0 = - a 1 - a 2

Substituindo:

- a 1 - a 2 ,   a 1 , a 2

Novamente, conseguimos escrever um parâmetro em função de 2 outros!

Esse também é um conjunto linear com 2 parâmetros, a 1 e a 2 .

É um subespaço de dimensão 2 .

Passo 4

E a ( c ) ?

p 1 + p 2 = 0

a 0 + a 1 + a 2 + a 0 + 2 a 1 + 4 a 2 = 0

2 a 0 + 3 a 1 + 5 a 2 = 0

a 0 = - 3 a 1 - 5 a 2 2

Conseguimos denovo reparametrizar o p a 0 !

O subconjunto fica assim:

- 3 a 1 - 5 a 2 2 ,   a 1 ,   a 2

Com esses dois parâmetros, é um subespaço de dimensão igual a 2 .

Passo 5

Tem que ser essa...

p 1 ∙ p 2 = 0

( a 0 + a 1 + a 2 )   a 0 + 2 a 1 + 4 a 2 = 0

Iiiih, caramba.

a 0 2 + 2 a 1 a 0 + 4 a 2 a 0 + a 1 a 0 + 2 a 1 2 + 4 a 2 a 1 + a 2 a 0 + 2 a 1 a 2 + 4 a 2 2 = 0

a 0 2 + 2 a 1 2 + 4 a 2 2 + 3 a 1 a 0 + 5 a 0 a 2 + 6 a 1 a 2 = 0

Que parada doida é essa? ¬¬’

Como você já reparou (ou não), esse negócio esquisito é uma equação do 2º grau tanto em a 0 como em a 1 e em a 2 , que é uma equação não-linear. Por isso não conseguiremos isolar nenhuma das variáveis, e não há relação linear entre elas!

Seja lá o que isso for, definitivamente, não é um subespaço vetorial, e nem tem como saber facilmente a dimensão disso.

Resposta

Letra ( d )

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
b. B ∈ M n nA B ≠ B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão