Mostre que o conjunto:

S = p ∈ P 3 p - 1 = p 1 = 0 }

é um subespaço vetorial de P 3 , com as mesmas operações usuais dele.

Passo 1

Queremos verificar:

  • 0 ∈ S ?
  • p 1 ( x ) , p 2 ( x ) ∈ S ⇒ ( p 1 + p 2 ) ( x ) ∈ S   ?
  • λ ∈ R ,   p ( x ) ∈ S ⇒ ( λ p ) ( x ) ∈ S ?

Passo 2

  • 0 ∈ S ?

Sim, como o conjunto possui a condição p - 1 = p 1 = 0 = 0 + 0 x + 0 x 2 + 0 x 3 , o conjunto contém o polinômio nulo.

Passo 3

  • p 1 ( x ) , p 2 ( x ) ∈ S ⇒ ( p 1 + p 2 ) ( x ) ∈ S   ?

Para ver se está fechado para soma, basta fazer:

p 1 + p 2 - 1 = p 1 - 1 + p 2 - 1 = 0 + 0

E também que:

p 1 + p 2 1 = p 1 1 + p 2 1 = 0 + 0

Logo, a soma ainda satisfaz as condições do conjunto.

Passo 4

Último passo gente!

λ ∈ R ,   p x ∈ S ⇒ λ p x ∈ S ?

Sim, pois

λ p - 1 = λ p - 1 = λ ∙ 0 = 0 ,   ∀ λ ∈ R

E, tembém

λ p 1 = λ p 1 = λ ∙ 0 = 0 ,   ∀ λ ∈ R

Como satisfez as três condições do teorema, S é um subespaço de P 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
b. B ∈ M n nA B ≠ B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão