Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justificando sua resposta.

a) W = p t ∈ P 5 : p 0 = 0 é um subespaço vetorial de P 5 .

Passo 1

E aí pessoal, tudo belezinha?

Ó, nesse exercício vamos ter que verificar se é verdade ou mentira que o conjunto W é um subespaço vetorial de P 5

W = p t ∈ P 5 : p 0 = 0

Esse conjunto engloba apenas os polinômios de grau menor ou igual a 5 onde p 0 = 0 , belezura?

Pra isso, vamos lembrar que um subespaço vetorial tem que cumprir com esses axiomas:

- 0 ∈ W

- w 1 + w 2 ∈ W para w 1 , w 2 ∈ W

- α ∙ w ∈ W , para w ∈ W

Então vamos ver se o conjunto W cumpre com isso, beleza?

Passo 2

Vamos começar pelo primeiro axioma: o polinômio nulo 0 tem que pertencer ao conjunto W

Realmente né gente, o polinômio nulo cumpre com p 0 = 0 , porque olha:

p t = 0 + 0 t + 0 t 2 + 0 t 3 + 0 t 4 + 0 t 5

p 0 = 0 + 0.0 + 0.0 2 + 0 . t 3 + 0 . t 4 + 0 . t 5 = 0

Portanto, ta confirmado que o polinômio nulo está no conjunto W

Passo 3

Agora vamos para o segundo axioma 😊 Se tivermos 2 polinômios w 1 e w 2 que pertencem ao conjunto W , eles vão cumprir com

w 1 0 = 0

w 2 0 = 0

Agora temos que ver se w 3 = w 1 + w 2 também pertence a W

Temos que

w 3 0 = w 1 0 + w 2 0 = 0 + 0 = 0

Logo, w 3 0 = 0 , e portanto, ele pertence ao conjunto W também

O segundo axioma ta verificadíssimoooo

Passo 4

Agora só falta o terceiro axioma. Temos que ver se α . w pertence a W , caso w pertença

Temos que

w 0 = 0

Multiplicando os dois lados por α :

α . w 0 = α . 0 = 0

Ou seja, quando multiplicamos por uma constante, o resultado continua sendo 0 :P

Logo, o terceiro axioma também vale pro conjunto W

Como o conjunto cumpre os 3 axiomas, realmente ele é um subespaço vetorial, fechou?

Resposta

Verdadeiro

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão