Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.

c)   W = { x , y , z ∈ R 3 ; x ≥ 0   e   z ≤ 0 } é um subespaço vetorial do R 3

d) Seja V um espaço vetorial com dim ⁡ V = 7 . Existem U e W subespaços vetoriais de V com dim ⁡ U = 4 , dim ⁡ W = 5 e dim ⁡ ( U ∩ W ) = 0

Passo 1

c)

Para confirmar que um conjunto é subespaço vetorial do R 3 temos que verificar 3 coisas: contém o vetor nulo, está fechado para a soma vetorial e para a multiplicação por escalar.

Conseguimos ver que 0,0 , 0 ∈ W ,   vamos agora analisar a soma:

Vamos pegar dois vetores de W :

w 1 = x 1 , y 1 , z 1 e w 2 = ( x 2 , y 2 ,   z 2 )

Bora fazer a soma:

x 1 , y 1 , z 1 + x 2 , y 2 ,   z 2 = x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2

Agora temos que analisar para ver se esse vetor pertence ao conjunto W . Se sim, então é fechado para a soma.

Tenho que x 1 ≥ 0 e x 2 ≥ 0 , então, x 1 + x 2 ≥ 0 .   Da mesma forma z 1 ≤ 0 e z 2 ≤ 0 , então, z 1 + z 2 ≤ 0 . Logo, W   é fechado para a soma.

Vamos testar, agora, a multiplicação por escalar:

λ x 1 , y 1 , z 1 = λ x 1 , λ y 1 , λ z 1

Mas se λ   for negativo ( λ < 0 ) , a primeira coordenada, que deve ser positiva, passa a ser negativa e a terceira, que deve ser negativa, passa a ser positiva.

λ x 1 ≤ 0 e λ z 1 ≥ 0

Assim, o vetor deixa de pertencer ao W = { x , y , z ∈ R 3 ; x ≥ 0   e   z ≤ 0 } e percebemos que o conjunto não é fechado para multiplicação por escalar, tornando a afirmativa falsa.

Passo 2

d)

Essa afirmativa é falsa, vamos entender o por quê.

Se U e W são subespaços vetoriais de V , U + W também vai ser. Além disso, todos esses subespaços de V devem ter a dimensão menor que a de V ou seja, menor que 7 .

Sabemos essa fórmulinha aqui que podemos aplicar:

dim ⁡ U + W = dim ⁡ U + dim ⁡ W - dim ⁡ U ∩ W = 4 + 5 - 0 = 9

Opa, 9 > 7 , logo isso aí é impossível.

Resposta

c)Falsa

d)Falsa

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão