Seja S p 2 o conjunto das matrizes M ∈ M 2 R tais que M T J M = J , onde J = 0 - 1 1 0 . Seja M = a b c d . Considere as seguintes afirmações:

  1. Se M ∈ S p 2 , então a d - b c = 1 .
  2. S p 2 é um subespaço vetorial de M 2 R

a   I e I I são falsas.

b   I é verdadeira, I I é falsa.

c   I e I I são verdadeiras.

( d ) I é falsa, I I é verdadeira.

Passo 1

Afirmativa I .

Temos que:

M = a b c d ⇒ M T = a c b d

E sabemos que:

M T J M = J ⇒ a c b d 0 - 1 1 0 a b c d = 0 - 1 1 0

a c b d - c - d a b = 0 - 1 1 0

- c a + a c - d a + b c - c b + a d - d b + b d = 0 - 1 1 0

0 - a d + b c a d - b c 0 = 0 - 1 1 0

Isso implica em a d - b c = 1 . Logo, a afirmativa I está correta.

Passo 2

Afirmativa I I :

Agora precisamos descobrir qual o termo geral do nosso conjunto S p 2 . Temos que:

a d - b c = 1 ⇒ a = 1 + b c d

Logo, podemos escrever o termo geral de S p 2 como:

a b c d = 1 + b c d b c d

Então precisamos verificar se S p 2 é fechado para soma e para multiplicação por escalar e tem o vetor nulo para que ele seja um subespaço vetorial. Para ser fechado para soma, o resultado da soma de duas matrizes que pertencem a S p 2 deve ser uma matriz que também pertença a S p 2 . Vamos pegar duas matrizes de S p 2 :

2 1 1 1   e   2 3 3 5

Agora somamos elas:

2 1 1 1 + 2 3 3 5 = 4 4 4 6

Vamos ver se está que obtemos faz parte de S p 2 também:

4 = 1 + 4 ∙ 4 6

4 = 17 6

4 = 2,8 3 ¯

Isso claramente não é verdade então S p 2 não é fechado para soma e portanto não é um subespaço de M 2 R .

Repare que provamos que a alternativa é falsa. Para isso bastou darmos um contra-exemplo. Se por acaso ela fosse verdadeira teríamos mais trabalho já que pra ter certeza disso íamos ter que testar com um elemento genérico, e não para um caso específico como fizemos.

Resposta

Letra ( b )

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
b. B ∈ M n nA B ≠ B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão