Considere o sistema linear A x = b . Suponha que o sistema:

1 não tenha solução se b = b 1 ;

2 não tenha solução se b = b 2 ;

3 tenha solução se b = b 3 .

Pode-se afirmar que o sistema:

a não tem solução se b = b 2 + b 3

b tem solução se b = b 1 + b 2

c não tem solução se b = b 1 + b 2

d tem solução se b = b 2 + b 3

Passo 1

Sabemos que o sistema terá solução se o vetor b estiver na imagem de A . A imagem de A é um subespaço qualquer. Vamos imaginar que é um plano pra facilitar o entendimento.

O que acontece se você somar dois vetores que não pertençam a esse plano? Concorda que a soma deles pode cair dentro ou fora do plano?

É isso o que fazemos ao somarmos b 1 + b 2 ! Estamos somando dois vetores que não pertencem à imagem de A , de forma que podemos obter um vetor que pertence ou um que não pertence. Então tanto b quanto c podem acontecer, logo, não podemos afirmar nenhuma das duas!

Passo 2

Agora o que aconteceria se somarmos um vetor que já está no plano com um vetor fora do plano? O resultado da soma vai ter saído do plano né!

Logo se somarmos um vetor que pertence à imagem de A com um vetor que não pertence, obteremos um que não pertence sempre! Então podemos afirmar que A x = b não tem solução se b = b 2 + b 3 .

Resposta

Letra ( a )

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
b. B ∈ M n nA B ≠ B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão