Enunciado

Seja P 2 o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a dois e V = p ∈ P 2 p 1 = 0 . Assinale a alternativa VERDADEIRA:

a   O polinômio p x = 2 + x + x 2 pertence a V .

b   V é subespaço vetorial de P 2 e x - 1 , x 2 - 1 é uma base de V .

c   V não é subespaço vetorial de P 2 .

d   V é subespaço vetorial de P 2 e tem dimensão igual a 4 .

Passo 1

Bom, vamos testar logo a letra a que é a mais fácil.

p x = 2 + x + x 2

p 1 = 2 + 1 + 1 = 4

Como p 1 ≠ 0 , temos que o polinômio não pertence a V , então alternativa falsa.

Repare também que P 2 possui dimensão 3 . Uma base para ele seria 1 , x , x 2 . Isso quer dizer que um subespaço de P 2 deve ter dimensão menor ou igual a três! Isso elimina a letra d .

Passo 2

Sobraram a b e a c . Uma diz que é um subespaço e a outra diz que não é. Então basta verificarmos que teremos a resposta certa!

Um subespaço vetorial deve ser fechado para a soma e fechado para a multiplicação por escalar. Ou seja, se temos p x e q x polinômios que pertencem a V , então:

p 1 + q 1 = 0

0 + 0 = 0

0 = 0

Beleza, é fechado para a soma. Agora para a multiplicação por escalar.

λ p 1 = 0

λ ∙ 0 = 0

0 = 0

Também é fechado para multiplicação, então a alternativa correta é a b .

Resposta

Letra b

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