Considere o espaço vetorial R 4 munido do seu produto interno usual e seja S o subespaço de R 4 definido por:

S = 2,1 , - 1,2 , - 1,2 , - 2 , - 1 .

Se v ∈ S e w ∈ S ⊥ são tais que

6 , - 4,2 , 2 = v + w

E se w = ( a , b , c , d ) , então a + b + c + d é igual a:

a ) - 4 ;

b ) - 6 ;

c )   2 ;

d )   8 ;

e ) - 2 .

Passo 1

Falaaa, blz??? Para esse problema temos que fazer uma análise sobre o que se pede.

Vamos analisar a seguinte equação:

w = 6 , - 4,2 , 2 - v

Além disso, vamos notar que w ⊥ v , agora pense um pouco, une a equação acima com o fato da ortogonalidade falada, isso te lembra algo? Esses fatos, unidos, nos dizem que w = p r o j S ⊥   ( 6 , - 4,2 , 2 ) , por definição mesmo. Agora, para escrevermos a projeção de um vetor sobre um espaço, precisamos achar uma base para esse espaço, parecido com a questão 1 dessa prova, bora fazer isso?

Passo 2

O que foi dito é, se temos B = v 1 , … , v n   base de um espaço V, podemos escrever:

p r o j V   u = p r o j v 1 u + p r o j v 2 u + … + p r o j v n u

Ou seja, basta acharmos essa base do espaço S ⊥ .

Vamos tomar u ∈ S ⊥ do tipo u = ( α , β , γ , δ ) , como ele está em S ⊥ , podemos afirmar que

u ⊥ 2,1 , - 1,2   e   u ⊥ - 1,2 , - 2 , - 1

Pois esses dois estão em S.

Ou seja, temos que:

u , 2,1 , - 1,2 = 0

u , - 1,2 , - 2 , - 1 = 0

Unindo essas duas equações e fazendo as continhas:

2 α + β - γ + 2 δ = 0 - α + 2 β - 2 γ - δ = 0

Veja que podemos multiplicar por 2 a de baixo e somar com a de cima, ficando:

2 α + β - γ + 2 δ + 2 - α + 2 β - 2 γ - δ = 0

Então, fica:

5 β - 5 γ = 0

Por isso, temos que β = γ , colocando isso na primeira equação, achamos que α = - δ

Passo 3

Ou seja, nosso vetor u = α , β , γ , δ fica como:

u ∈ S ⊥ ,     e n t ã o   u = ( - δ , γ , γ , δ )

E por isso, como u = δ - 1,0 , 0,1 + γ ( 0,1 , 1,0 ) , podemos concluir que:

S = - 1,0 , 0,1 , ( 0,1 , 1,0 )

Veja que - 1,0 , 0,1 , ( 0,1 , 1,0 ) = 0 , ou seja, além de - 1,0 , 0,1 , ( 0,1 , 1,0 ) ser uma base do espaço ela é uma base ortogonal

Agora ocorre algo legal, pois podemos usar o seguinte fato:

Se { w 1 , w 2 , … ,   w n } é uma base ortogonal de W , então:

p r o j W v = p r o j w 1 v + p r o j w 2 v + … + p r o j w n v

Ou seja, aplicando isso no problema:

w = p r o j S ⊥   6 , - 4,2 , 2

Com B = - 1,0 , 0,1 , ( 0,1 , 1,0 ) base ortogonal de S ⊥ , pela afirmação:

w = p r o j - 1,0 , 0,1   6 , - 4,2 , 2 + p r o j ( 0,1 , 1,0 )   6 , - 4,2 , 2  

Agora basta usar a fórmula de projeção p r o j w v = v ∙ w w 2 w , aplicando a fórmula na equação:

w = - 4 2 - 1,0 , 0,1 + - 2 2 0,1 , 1,0

E por isso, temos que w = 2,0 , 0 , - 2 + 0 , - 1 , - 1,0

Ou seja w = 2 , - 1 , - 1 , - 2

Mas como w = ( a , b , c , d ) , temos que a + b + c + d = - 2

Resposta

Letra E

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão