Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno ∙ , ∙ e considere as seguintes afirmações:

( I ) para quaisquer v , w ∈ V , vale que:

v + w 2 + v - w 2 = 2 ( v 2 + w 2 )

( I I ) para quaisquer v , w   ∈ V , vale que v   é ortogonal a w se, e somente se, v + w = v - w ;

( I I I ) Se S 1   e   S 2 são subespaços de V tais que S 1 ⊂ S 2 , então S 1 ⊥ ⊂ S 2 ⊥ .

Assinale a alternativa correta:

a )   Apenas a afirmação ( I ) é necessariamente verdadeira;

b )   todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

c )   apenas as afirmações I   e   ( I I ) são necessariamente verdadeiras;

d )   apenas as afirmações I I   e   ( I I ) são necessariamente verdadeiras;

e )   apenas as afirmações I   e   ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

Passo 1

Falaaa, blz??? Bora para mais um probleminha dessa prova. Vamos começar pela primeira afirmação.

v + w 2 + v - w 2 = 2 ( v 2 + w 2 )

Veja que o problema nos diz sobre produto interno e a afirmação fala sobre módulo ao quadrado, como podemos unir os dois conceitos??

Para isso, vamos lembrar que u , u = u 2

Ou seja, aplicando isso no problema:

v + w 2 =   v + w , v + w

v - w 2 =   v - w , v - w

Além disso, vamos lembrar que produto interno tem uma propriedade que usaremos:

i )   v , w + u =   v , w + v , u

i i )   v , a u = a v , u

i i i )   u , v = v , u

Organizando tudo:

v + w 2 + v - w 2 =   v + w , v + w + v - w , v - w

Aplicando a propriedade ( i ) e ( i i ) :

v + w 2 + v - w 2 = v + w , v + v + w , w + v - w , v - v - w , w

Aplicando novamente:

v + w 2 + v - w 2 = v , v + w , v + v , w + w , w + v , v - w , v - v , w + w , w

Agora usando i i i e juntando todo mundo:

v + w 2 + v - w 2 =   2 ( v 2 + w 2 )

Ou seja, a afirmação tá certa.

Passo 2

Agora bora para próxima afirmação:

v   é   o r t o g o n a l   a   w   s e ,   e   s o m e n t e   s e ,   ‖ v + w ‖ = ‖ v - w ‖

Bom, vamos fazer a ida dessa afirmação, supor v ⊥ w e ver se vale ‖ v + w ‖ = ‖ v - w ‖ .

Se v ⊥ w →   v , w = 0

Já foi calculado na afirmação anterior, temos que v + w 2 = v 2 + w 2 + 2 v , w

Mas veja que usando o fato de v ⊥ w , temos que v + w 2 = v 2 + w 2

Além disso, vale o mesmo para v - w 2 , uma vez que foi calculado que:

v - w 2 = v 2 + w 2 - 2 v , w

E pelo mesmo argumento:

v - w 2 = v 2 + w 2

E por isso, temos que v + w 2 = v - w 2 , mas como módulo é maior ou igual a zero, temos que:

‖ v + w ‖ = ‖ v - w ‖

Ou seja, a ida é verdadeira, bora checar a volta:

Supondo que ‖ v + w ‖ = ‖ v - w ‖ , queremos ver se v ⊥ w .

Se ‖ v + w ‖ = ‖ v - w ‖ isso ocorre se, e somente se, v + w 2 = v - w 2 , pois eles são não negativos.

E por isso, temos que:

v 2 + w 2 + 2 v , w = v 2 + w 2 - 2 v , w

Ou seja: 2 v , w = - 2 v , w

E isso só ocorre se v , w = 0 , ou seja, v ⊥ w . Por isso a afirmação é verdadeira.

Passo 3

E agora para finalizar, bora para a última.

S 1 ⊂ S 2 ,   e n t ã o   S 1 ⊥ ⊂ S 2 ⊥

Esse caso é falso, basta tomarmos:

S 1 = 0   e   S 2 = V

Nesse caso, temos que S 1 ⊂ S 2 e S 1 ⊥ = V e S 2 ⊥ = 0 , ou seja, não ocorre S 1 ⊥ ⊂ S 2 ⊥ , por isso a afirmação é falsa.

E assim terminamos mais um probleminha dessa prova, agora usando as propriedades de produto interno e o conceito de espaço ortogonal.

Resposta

Letra C

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão