Considere os subespaços de R 4 definidos por:

S 1 = 1,1 , - 1,0 , 0,1 , 0,0 , 1,0 , - 1,1 ,

S 2 = 1,1 , 0,2 , 1,0 , 0,0 , 0,1 , 1,2 .

Assinale a alternativa correspondente a uma base de S 1 ∩ S 2 :

  1. { 0 , - 1,0 , - 2 , - 1,0 , 1,0 , 1,1 , - 1,0 } ;
  2. { 0 , - 1,0 , - 2 , - 1,0 , 1,0 } ;
  3. { 1 , - 1 , - 1 , - 2 } ;
  4. { - 1 , - 1,1 , - 2 } ;
  5. { 0 , - 1,0 , - 2 , 2,1 , 0,2 } .

Passo 1

Oie! Tudo bem? O objetivo da nossa questão é encontrar uma base para a interseção de dois subespaços vetoriais, S 1 e S 2 . Então vamos começar primeiramente expressando claramente a forma dos vetores que pertencem a cada um desses dois subespaços. Isso porque o enunciado nos dá S 1 e S 2 apenas na forma de subespaços gerados por um conjunto de vetores, certo?

Bom, primeiro ponto: um subespaço gerado por um conjunto de vetores nada mais é do que o conjunto de todas as combinações lineares possíveis entre esses vetores. Dessa forma, um vetor x , y , z , w pertence a S 1 se existirem coeficientes a , b , c ∈ R tais que:

x , y , z , w = a 1,1 , - 1,0 + b 0,1 , 0,0 + c 1,0 , - 1,1 = a + c , a + b , - a - c , c

Vamos colocar cada uma das coordenadas x , y , z , w separadamente para que possamos ver mais claramente:

x = a + c y = a + b z = - a - c w = c

Aqui, vemos que as coordenadas y e w não guardam nenhuma relação com as demais. Em outras palavras, são variáveis livres. No entanto, se olharmos para x e z , vemos que x = a + c e z = - a - c , ou seja:

z = - x

Assim, a forma dos vetores x , y , z , w ∈ S 1 é dada por:

x , y , - x , w                 x , y , w ∈ R

Passo 2

Assim como fizemos para S 1 , vamos tentar entender a forma dos vetores x , y , z , w pertencentes a S 2 , que são combinações lineares da forma:

x , y , z , w = a 1,1 , 0,2 + b 1,0 , 0,0 + c 0,1 , 1,2 = a + b , a + c , c , 2 a + 2 c

Separando cada coordenada para melhor visualização:

x = a + b y = a + c z = c w = 2 a + 2 c

Aqui x e z são variáveis livres, sem qualquer relação com as demais. Mas olhando para y e w , como y = a + c e w = 2 a + 2 c , temos:

w = 2 y

Assim, a forma dos vetores x , y , z , w ∈ S 2 é dada por:

x , y , z , 2 y                 x , y , z ∈ R

Passo 3

Recapitulando até onde chegamos, encontramos que S 1 e S 2 são da forma:

S 1 : x , y , - x , w           x , y , w ∈ R S 2 : x , y , z , 2 y         x , y , z ∈ R

Mas nesse ponto talvez você esteja se perguntando “Ok, mas como isso me ajuda a encontrar uma base para a interseção?” Pois bem! Ajuda porque temos que lembrar que um vetor x , y , z , w ∈ S 1 ∩ S 2 precisa pertencer tanto a S 1 quanto a S 2 . Ou seja, precisa satisfazer às duas formas que encontramos acima simultaneamente:

I n t e r s e ç ã o :   x , y , - x , 2 y         x , y ∈ R

Agora, basta verificarmos qual alternativa possui apenas vetores que satisfaçam as condições acima. Se fizermos isso, vamos perceber que a resposta é a letra (b), pois:

0 , - 1,0 , - 2 = 0 , - 1 , - 0,2 ⋅ - 1

e

- 1,0 , 1,0 = - 1,0 , - - 1 , 2 ⋅ 0

Entendeu tudo direitinho? Então vamos para mais uma questão!

Resposta

(b) { 0 , - 1,0 , - 2 , - 1,0 , 1,0 } ;

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão