Considere as seguintes afirmações:

I   R = x , y , z ∈ R 3   x = y 2 = z }   é   u m   s u b e s p a ç o   v e t o r i a l   d e   R 3

I I   S = x , y , z ∈ R 3   x , y , z   ∈ Q }   é   u m   s u b e s p a ç o   v e t o r i a l   d e   R 3

I I I   T = x , y , z ∈ R 3   x = y + 1 = z + 2 }   é   u m   s u b e s p a ç o   v e t o r i a l   d e   R 3

Nestas condições podemos afirmar.

Passo 1

Faaala, blz??? Vamos começar essa questãozinha lembrando alguns conceitos de subespaço vetorial, para checarmos a veracidade das afirmações.

São 3 propriedades para o conjunto ser subespaço vetorial:

i   E l e m e n t o   n e u t r o   p e r t e n c e   d e   R 3   a o   s u b e s p a ç o

i i   ∀   u →   , v →   ∈ X   → u → + v → ∈ X   ,   o n d e   X   é   o   s u b e s p a ç o

i i i   S e   v →   ∈ X     e   α   ∈ R   → α v →   ∈ X ,   o n d e   X   é   o   s u b e s p a ç o

Passo 2

Agora vamos checar as 3 afirmações.

De (I):

A propriedade (i) é verdadeira, basta tomar todas coordenadas sendo zero.

Agora vamos checar a propriedade (ii):

u → = t 2 , t , t 2   ∈ R

v → = p 2 , p , p 2 ∈ R

u → + v → = ( t 2 + p 2 ,   t + p ,   t 2 + p 2 )

Para que a soma estivesse em R, teríamos que   t 2 + p 2 = t + p 2 , porém é bem direto que isso não é verdade para qualquer t e p real. Logo R não é subespaço vetorial.

De (II):

A propriedade (i) é verdadeira, pois 0   ∈ Q , logo 0,0 , 0 ∈ S

Agora vamos pensar na propriedade 2. Se u →   , v →   ∈ S , suas coordenadas serão números racionais, quando somarmos ambos vetores, será a soma de números racionais, que é racional, logo é válido.

Agora vamos para propriedade (iii):

A motivação para abordar essa propriedade é tentar pensar em algum contraexemplo. Ou seja, vamos pegar um vetor de S e multiplicar por um escalar qualquer e ver se o resultado está em S.

Para um vetor não pertencer a S, pelo menos uma de suas coordenadas não é racional, ou seja, é irracional. Ou seja, basta pegar um vetor com coordenadas racionais, multiplicar por algum escalar e resultar em alguma coordenada irracional. Por exemplo:

u →   = 0,0 , 1   ∈ S  

Tomando α =   π :

α u → = 0,0 , π , como π   é irracional, α u →   não tá em S. Logo S não é subespaço vetorial.

Passo 3

Vamos olhar agora a afirmação (III):

Nós temos que   x , y , z ∈ T ,   e n t ã o     x = y + 1 = z + 2

Agora veja que 0,0 , 0   n ã o   t á   e m   T ,   p o i s :

u →   ∈ S ,   e n t ã o   u →   = ( x , x - 1 , x - 2 )

O que torna impossível todas coordenadas serem zero, simultaneamente. Logo T não é subespaço vetorial

Resposta

Todas afirmações são falsas.

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão