Em P 9 ( R ) (trata-se do espaço de todos os polinômios de grau ≤ 9 ) sejam V um subespaço vetorial de dimensão 5 e W um subespaço contendo 5 vetores linearmente independentes. Considere as seguintes afirmações:

I   O   s u b e s p a ç o   V ∩ W   é   d i f e r e n t e   d e   { 0 → }

I I   S e   V + W   t e m   d i m e n s ã o   8   e n t ã o d i m d i m   V ∩ W ≤ 7    

I I I   S e   V + W   t e m   d i m e n s ã o   8   e n t ã o d i m d i m   V ∩ W ≥ 2    

a )   I   e   I I   s o m e n t e

b )   I   e   I I I   s o m e n t e

c )   I , I I , ( I I I

d )   I I   s o m e n t e

e )   I I   e   I I I   s o m e n t e

Passo 1

Falaaa, tranquilo?? Para começar essa questão vamos analisar, primeiramente, o que quer quiser a afirmação “ W um subespaço contendo 5 vetores linearmente independentes”

Bom, se conseguimos pegar 5 vetores L.I de dentro de um subespaço, podemos usar esses mesmos 5 vetores para compor uma base, porém, não podemos falar que essa base terá apenas os 5, por exemplo, se W possuir dimensão 6, o subespaço terá 5 vetores L.I, também, pois se tem 6 tem 5 : )

Usaremos a seguinte relação:

d i m d i m   ( V + W ) = d i m d i m   V   + d i m d i m   W   - d i m d i m   V ∩ W    

Agora, vamos lembrar que d i m d i m   P 9 R = 10   , ou seja, conseguimos achar no máximo 10 vetores L.I dentro de P 9 R .

Passo 2

Agora bora analisar as afirmações:

Primeiro vamos tomar V = 1 , t , t 2 , t 3 , t 4   e   W = [ t 5 , t 6 , t 7 , t 8 , t 9 ]

Veja que nesse caso V ∩ W = { 0 → }   , logo a primeira afirmação é falsa.

Passo 3

Agora usaremos a relação citada no começo para as próximas afirmações

d i m d i m   ( V + W ) = d i m d i m   V   + d i m d i m   W   - d i m d i m   V ∩ W    

8 = 5 + d i m d i m   W - d i m d i m   V ∩ W → d i m d i m   W - d i m d i m   V ∩ W = 3        

Agora, pelo o que já falamos, temos que d i m d i m   W ≥ 5   , chamaremos d i m d i m   W = 5 + t     para facilitar, sendo que t pode ser 0,1,2,3,4 ou 5.

Voltando na equação:

- d i m d i m   V ∩ W = 3    

t - d i m d i m   V ∩ W = - 2  

d i m d i m   V ∩ W = t + 2  

Aqui tiramos a resposta para as duas afirmações, pois o menor t possível é 0, resultando que

d i m d i m   V ∩ W = 2  

Além disso, o maior possível é 5, resultando em:

d i m d i m   V ∩ W = 7  

Logo, as afirmações 2 e 3 estão corretas

Resposta

Letra E

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão