Seja q ∈ R . Temos que 1,3 , 1 , - 2 pertencerá ao subespaço de R 4 gerado pelos vetores

1,1 , 1 , q ,           1,2 , 3,0         e           ( 1,2 , 4,1 )

se, e somente se, q for igual a:

  1. 4 ;
  2. 2 ;
  3. - 4 ;
  4. 0 ;
  5. - 2 .

Passo 1

Fala aí, meu povo! Tudo bem por aí?

Aqui nessa questão nós temos um vetor e queremos que ele pertença a um certo subespaço gerado. Mas o que exatamente isso quer dizer? Bom, subespaço gerado nada mais é do que o conjunto de todas as combinações lineares de um certo grupo de vetores.

Assim, para que 1,3 , 1 , - 2 pertença ao subespaço gerado por 1,1 , 1 , q , 1,2 , 3,0 e ( 1,2 , 4,1 ) , a gente precisa ver se consegue encontrar três números a , b , c tais que:

1,3 , 1 , - 2 = a 1,1 , 1 , q + b 1,2 , 3,0 + c 1,2 , 4,1

Beleza? Mas aí você deve estar se perguntando: “mas o que a questão quer como resposta é o valor de q , certo? Como isso me ajuda em alguma coisa?” Excelente pergunta, meu pequeno gafanhoto. Mas aí vai nos ajudar é muito, porque se notarmos direitinho a equação acima, vamos ver que podemos expandi-la e então transformá-la em sisteminha que podemos então resolver:

1,3 , 1 , - 2 = ( a + b + c , a + 2 b + 2 c , a + 3 b + 4 c , q a + c )

Separando por coordenada:

a + b + c = 1 a + 2 b + 2 c = 3 a + 3 b + 4 c = 1 q a + c = - 2

Agora que a gente conseguiu converter nosso problema em um sistema de equações, só precisamos usar qualquer método pra resolvê-lo e encontrar o valor de q ! Então vamos lá.

Passo 2

Só recapitulando, encontramos o seguinte sistema de equações:

a + b + c = 1 a + 2 b + 2 c = 3 a + 3 b + 4 c = 1 q a + c = - 2

Você pode resolvê-lo do jeito que ficar mais fácil para você, tá? Existem mil e uma maneiras de resolver sistemas lineares, mas aqui eu vou na força bruta mesmo, tá? Hahah

Por força bruta, eu me refiro ao método de substituição de variáveis, que a gente costuma aprender ainda na escola. Da primeira equação, temos:

a + b + c = 1

⇒ b + c = 1 - a

Substituindo na segunda equação, obtemos a :

a + 2 b + 2 c = 3

⇒ a + 2 ( b + c ) = 3

⇒ a + 2 ( 1 - a ) = 3

⇒ a + 2 - 2 a = 3

⇒ a = - 1

Como agora já sabemos o valor de a , vamos retro substituir na equação para b + c :

b + c = 1 - a

⇒ b + c = 1 - - 1

⇒ b + c = 2

Show! Vamos também substituir o valor de a na terceira equação:

a + 3 b + 4 c = 1

⇒ ( - 1 ) + 3 b + 4 c = 1

⇒ 3 b + 4 c = 2

Juntando essas duas últimas equações que obtivemos, temos:

b + c = 2 3 b + 4 c = 2

Mais fácil, né? Com só duas incógnitas, a gente isola b na primeira equação:

b = 2 - c

E substitui na segunda:

3 b + 4 c = 2

⇒ 3 ( 2 - c ) + 4 c = 2

⇒ 6 - 3 c + 4 c = 2

⇒ c = - 4

Show! Como a última equação do nosso sisteminha que envolvia nossa incógnita q só tem a e c , nem precisamos calcular o valor de b . Com isso ganhamos algum tempo, né? Vamos então substituir os valores que encontramos para a e c na última equação:

q a + c = - 2

⇒ q ( - 1 ) + ( - 4 ) = - 2

q = - 2

E tá pronto! Encontramos o que o enunciado pedia 😊

Que tal fazermos juntos mais uma questão?

Resposta

(e) - 2 .

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão