Seja A = v 1 → , v 2 → , v 3 → , v 4 → um subconjunto de V 3 com quatro elementos e assuma que todo v → ∈ V 3 possa ser escrito como combinação linear dos elementos de A. Considere as seguintes afirmações:

I   0 → ∈ A

I I   O conjunto A possui um subconjunto com três elementos que é uma base de V 3 ;

( I I I ) existe um vetor pertencente ao conjunto A que é combinação linear de outros dois vetores pertencentes ao conjunto A

Assinale a alternativa certa

a apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira;

b apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;

c apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;

d apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira;

e apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras;

Passo 1

Falaaaa, blz??? Bora começar essa provinha já com uma boa questão que envolve conceitos importantes. Vamos primeiro notar que estamos falando, nesse problema, sobre o espaço V 3 , vale lembrarmos que esse espaço possui dimensão 3, ou seja, as suas bases possuem 3 vetores linearmente independentes.

Bora começar analisando as afirmações:

I   0 → ∈ A

Veja que pela hipótese do problema, o nosso conjunto A consegue gerar o espaço V 3 , uma vez que todo cara de V 3 é escrito como combinação dos vetores de A, vamos tomar um espaço e um subconjunto com essa característica e checar?

Tome A = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 , , ( 1,1 , 1 ) } e V = R 3

Nesse caso, veja que A gera o V, uma vez que qualquer vetor de R 3 pode ser escrito da forma:

v = a 1,0 , 0 + b 0,1 , 0 + c 0,0 , 1 + 0 1,1 , 1 = ( a , b , c )

Além disso, temos que o vetor nulo não está em A, logo a afirmação está incorreta.

Passo 2

Bora para a próxima afirmação??

I I   O conjunto A possui um subconjunto com três elementos que é uma base de V 3 ;

Essa aqui é engraçado, pois basicamente usamos isso na de cima.

Para fazermos essa, vamos lembrar o seguinte conceito:

B é uma base de V 3 B possui 3 vetores linearmente independentes = Qualquer elemento de V é gerado por combinação dos 3 vetores de B.

Como V 3 tem dimensão 3, se conseguimos pegar 3 vetores L.I dele, o conjunto dos vetores irá gerar V 3

Pelo enunciado, temos que A gera V 3 , porém possui 4 elementos, para ser considerado uma base ele deve possuir 3. Mas como todo vetor de V 3 é gerado por A, podemos tomar, por exemplo:

v 4 = a v 1 + b v 2 + c v 3 , isso ocorre pois v 4 ∈ V 3 , com isso, tomando:

B = A - v 4 = { v 1 , v 2 , v 3 }

É um conjunto de 3 elementos, no qual, todo elemento de V sai deles 3, ou seja, é uma base de V 3

Passo 3

( I I I ) existe um vetor pertencente ao conjunto A que é combinação linear de outros dois vetores pertencentes ao conjunto A

Essa é falsa, basta tomarmos o mesmo exemplo da primeira afirmação.

Tome A = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 , , ( 1,1 , 1 ) } e V = R 3

Veja que nenhum elemento de A é combinação de outros 2 de A. Contrariando a afirmação

Logo, a alternativa correta é a letra A, bora para a próxima???

Resposta

Letra A

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão