Assinale o conjunto que NÃO É um subespaço vetorial:

( a ) O conjunto de matrizes reais 2 × 2 cujo elemento da primeira linha e da segunda coluna de A é igual a 1 .

( b ) O espaço gerado pelas colunas de uma matriz real A m × n .

( c ) O conjunto das matrizes 2 × 2 triangulares superiores.

( d ) O conjunto das matrizes X p × 1 tais que A X = 0 , onde A é uma matriz m × p dada.

Passo 1

Primeiro temos que lembrar o que um conjunto deve ter para ser um subespaço! Ele deve ser fechado pra soma e para a multiplicação por escalar, além de possuir o vetor nulo. Então vamos ver qual opção não tem um desses!

a Esse conjunto definido por essa alternativa tem o elemento da primeira linha e segunda coluna igual a 1 . Então a matriz geral desse conjunto é:

a 1 b c

Bom, como o enunciado nem a alternativa não mencionaram nada, nós usamos as operações usuais. Dito isso, vamos ver se é fechado para soma:

a 1 b c + x 1 y z = a + x 2 b + y c + z

Opa, resultado da soma não tem o elemento da primeira linha e da segunda coluna igual a 1 ! Então ele não faz parte do conjunto e não é fechado para soma. Isso quer dizer que o conjunto dado não é um subespaço! Na verdade, esse conjunto não cumpre com nenhuma das 3 condições haha.

Mesmo já sabendo que essa é a resposta vamos verificar os outros pra praticar.

Passo 2

b O espaço gerado pelas colunas de uma matriz é a sua imagem. E nós sabemos que a imagem de uma matriz é sempre um subespaço vetorial, então essa alternativa é correta.

Passo 3

c Agora ele quer saber do conjunto das matrizes 2 × 2 triangulares superiores, que tem como termo geral a matriz:

0 a 0 0

Vamos ver se é fechado para soma:

a b 0 c + x y 0 z = a + x b + y 0 c + z

O resultado continua sendo triangular superior, então tá certinho.

Agora se é fechado para o produto por escalar:

λ a b 0 c = λ a λ b 0 λ c

Também continua sendo triangular superior.

Por último, vamos ver se possui o elemento nulo. Bom, uma matriz triangular superior sempre deve ter os elementos abaixo da diagonal principal zerados. Mas nada é especificado sobre os elementos na diagonal e acima dela. Então podemos fazer o que quisermos com eles, inclusive igualar a zero! Logo, a matriz:

0 0 0 0

também é triangular superior. Assim, confirmamos que este é um subconjunto.

Passo 4

d Vamos reparar no seguinte. Ele quer o conjunto das matrizes X p × 1 tais que A X = 0 . Po, mas se A X = 0 , isso quer dizer que X é o núcleo de A certo? Então o conjunto que ele está definindo é o conjunto dos vetores que estão no núcleo de uma matriz A dada.

E assim como a imagem, sabemos que o núcleo de uma matriz é sempre um subespaço vetorial!!

Resposta

Letra ( a )

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
b. B ∈ M n nA B ≠ B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão